Tổng và hiệu của hai vectơ Ôn tập Toán 10

Bạn đang xem bài viết Tổng và hiệu của hai vectơ Ôn tập Toán 10 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Trong Toán học, quan hệ giữa hai vectơ chủ yếu được thể hiện qua phép cộng và phép trừ giữa chúng. Đó là tổng và hiệu của hai vectơ. Trên cơ sở đó, chúng ta có thể nói rằng tổng và hiệu của hai vectơ là hai khái niệm cơ bản và quan trọng trong lĩnh vực đại số tuyến tính.

Tổng của hai vectơ ký hiệu là $vec{A} + vec{B}$, được xác định bằng cách cộng tương ứng các thành phần tương ứng của hai vectơ. Nói cách khác, nếu $vec{A} = (a_1, a_2, …, a_n)$ và $vec{B} = (b_1, b_2, …, b_n)$ là hai vectơ, thì tổng của chúng là vectơ $vec{C} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, …, a_n + b_n)$.

Hiệu của hai vectơ ký hiệu là $vec{A} – vec{B}$, được xác định bằng cách trừ tương ứng các thành phần của vectơ B từ vectơ A. Nếu $vec{A}$ và $vec{B}$ được xác định tương tự như trên, thì hiệu của chúng là vectơ $vec{D} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2, …, a_n – b_n)$.

Tổng và hiệu của hai vectơ có thể được biểu diễn theo hình học như việc cộng và trừ các vectơ trong không gian Euclid. Tổng hai vectơ thể hiện vectơ đi từ điểm khởi đầu của vectơ thứ nhất đến điểm cuối cùng của vectơ thứ hai. Hiệu hai vectơ thể hiện vectơ đi từ điểm cuối cùng của vectơ thứ hai đến điểm cuối cùng của vectơ thứ nhất.

Tổng và hiệu của hai vectơ không chỉ có ý nghĩa hình học mà còn có rất nhiều ứng dụng trong thực tế và các lĩnh vực khác nhau như vật lý, điện tử, máy tính, và kỹ thuật.

Trên đây là một số cơ bản về tổng và hiệu của hai vectơ. Qua việc hiểu và ứng dụng chúng, ta có thể áp dụng chúng vào việc giải quyết các bài toán và vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau.

Tổng và hiệu của hai vectơ là tài liệu vô cùng hữu ích không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 10 tham khảo. Tổng và hiệu của hai vectơ sẽ được học trong chương trình Toán 10 học kì 1 áp dụng đối với cả 3 bộ sách giáo khoa.

Bài tập tổng và hiệu của hai vectơ lớp 10 bao gồm 7 trang tóm tắt toàn bộ kiến thức lý thuyết và các dạng bài tập, phương pháp giải có đáp án kèm theo. Tài liệu được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được điểm số cao trong kì thi học kì 1 lớp 10. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu Bài tập tự luận chuyên đề vectơ.

Khám Phá Thêm: Soạn bài Trở gió - Kết nối tri thức 7 Ngữ văn lớp 7 trang 44 sách Kết nối tri thức tập 1

Mục Lục Bài Viết

I. Tổng của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ $Tổng và hiệu của hai vectơ Ôn tập Toán 10$ . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $overrightarrow{AB} = overrightarrow{a}, overrightarrow{BC} = overrightarrow{b}$ . Vectơ $overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}.$

$overrightarrow{AC} = overrightarrow{a} + overrightarrow{b}.$

2. Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì

$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} = overrightarrow{AC}.$

3. Tính chất của tổng các vectơ

– Tính chất giao hoán

$overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = overrightarrow{b} + overrightarrow{a}$

– Tính chất kết hợp

$(overrightarrow{a} + overrightarrow{b} ) + overrightarrow{c} = overrightarrow{a} + (overrightarrow{b} +overrightarrow{c})$

– Tính chất của $overrightarrow{0}$ :

$overrightarrow{a}+overrightarrow{0} = overrightarrow{0} + overrightarrow{a} =overrightarrow{a}$

II. Hiệu của hai vectơ

a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ $overrightarrow{a}$ được gọi là vec tơ đối của vec tơ $overrightarrow{a}$ , kí hiệu $-overrightarrow{a}.$

Vec tơ đối của $overrightarrow{0}$ là vectơ $overrightarrow{0}.$

b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ $Tổng và hiệu của hai vectơ Ôn tập Toán 10$ . Vec tơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu $overrightarrow{a}- overrightarrow{b}$ là vectơ $overrightarrow{a} + (-overrightarrow{b})$

$overrightarrow{a}- overrightarrow{b} = overrightarrow{a} + (-overrightarrow{b}).$

c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có

$overrightarrow{AB} + overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC} (1)$

$overrightarrow{AB} - overrightarrow{AC} = overrightarrow{CB} (2)$

(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.

(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.

III. Áp dụng tổng và hiệu hai vecto

a) Trung điểm của đoạn thẳng:

I là trung điểm của đoạn thẳng

$⇔ overrightarrow{IA} +overrightarrow{IB} = overrightarrow{0}$

b) Trọng tâm của tam giác:

G là trọng tâm của tam giác ∆ABC

$⇔ overrightarrow{GA} + overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC} = overrightarrow{0}$

IV. Các dạng bài tập tổng và hiệu của vectơ

Dạng 1: Xác định độ dài tổng và hiệu của các vectơ

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa về tổng và hiệu của các vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định phép toán vectơ đó
Dựa vào tính chất của hình học, sử dụng định lý Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có $widehat{ABC}=30^circ$ và $BC=asqrt5$ . Tính độ dài của các vectơ $overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC},overrightarrow{AC}-overrightarrow{BC}$ và $overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}$

Cách giải:

Theo quy tắc ba điểm:

$overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}=overrightarrow{AC}$

Mà $sin{ABC}=frac{AC}{BC}$

$Rightarrow AC=BC.sin{ABC}=asqrt5.sin{30^circ}=frac{asqrt5}{2}$

Do đó $left | overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC} right |=left | overrightarrow{AC} right |=AC=frac{asqrt5}{2}$

$overrightarrow{AC}-overrightarrow{BC}= overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB}=overrightarrow{AB}$

Ta có: $AC^2+AB^2-BC^2Rightarrow AB=sqrt{BC^2-AC^2}=sqrt{5a^2-frac{5a^2}{4}}=frac{asqrt{15}}{2}$

Vì vậy $left | overrightarrow{AC}-overrightarrow{BC} right |=left | overrightarrow{AB} right |=AB=frac{asqrt{15}}{2}$

Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có $overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=overrightarrow{AD}$

Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật suy ra $AD=BC=asqrt5$

Khám Phá Thêm: Địa lí 9 Bài 13: Vai trò đặc điểm phát triển và phân bố của dịch vụ Soạn Địa 9 trang 50

Vậy $left | overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC} right |=left | overrightarrow{AD} right |=AD= asqrt5$

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức vectơ từ việc biến đổi

Phương pháp giải: Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biến đổi: Vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt các quy tắc vectơ.

Ví dụ 1: Cho năm điểm A,B,C,D,E. Chứng minh rằng:

$overrightarrow{AB}+overrightarrow{CD}+overrightarrow{EA}=overrightarrow{CB}+overrightarrow{ED}$

$overrightarrow{AC}+overrightarrow{CD}-overrightarrow{EC}=overrightarrow{AE}-overrightarrow{DB}+overrightarrow{CB}$

Cách giải:

1. Biến đổi vế trái ta có:

$begin{align}nonumber VT&=overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB}+overrightarrow{CD}+overrightarrow{ED}+overrightarrow{DA}\ nonumber&=overrightarrow{CB}+overrightarrow{ED}+overrightarrow{AC}+overrightarrow{CD}+overrightarrow{DA}\ nonumber&=overrightarrow{CB}+overrightarrow{ED}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{DA}\ nonumber&=overrightarrow{CB}+overrightarrow{ED}=VP end{align} (ĐPCM)$

2. Đẳng thức tương đương với

$overrightarrow{AC}-overrightarrow{AE}+overrightarrow{CD}-overrightarrow{CB}- overrightarrow{EC}+overrightarrow{DB}=overrightarrow{0}$

$Leftrightarrowoverrightarrow{EC}+overrightarrow{BD}-overrightarrow{EC}+overrightarrow{DB}=overrightarrow{0}$

$overrightarrow{BD}+overrightarrow{DB}=overrightarrow{0}$ (ĐPCM)

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng:

$overrightarrow{BA}+overrightarrow{DA}+overrightarrow{AC}=overrightarrow{0}$

$overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}+overrightarrow{OD}=overrightarrow{0}$

$overrightarrow{MA}+overrightarrow{MC}=overrightarrow{MB}+overrightarrow{OD}$

Cách giải:

Ta có:

$overrightarrow{BA}+overrightarrow{DA}+overrightarrow{AC}=-overrightarrow{AB}-overrightarrow{AD}+overrightarrow{AC}$

$=-left (overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD} right )+overrightarrow{AC}$

Theo quy tắc hình bình hành ta có $overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}=overrightarrow{AC}$ suy ra:

$overrightarrow{BA}+overrightarrow{DA}+overrightarrow{AC}=-overrightarrow{AC}+overrightarrow{AC}=overrightarrow{0}$

2. Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: $overrightarrow{OA}=overrightarrow{CO}Rightarrowoverrightarrow{OA}+overrightarrow{OC}=overrightarrow{CO}+overrightarrow{OC}=overrightarrow{0}$

Tương tự: $overrightarrow{OB}+overrightarrow{OD}=overrightarrow{0}Rightarrowoverrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}+overrightarrow{OD}=overrightarrow{0}$

3. Vì ABCD là hình bình hành nên:

$overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}Rightarrowoverrightarrow{BA}+overrightarrow{DC}=overrightarrow{BA}+overrightarrow{AB}=overrightarrow{0}$

$begin{align}nonumberRightarrowoverrightarrow{MA}+overrightarrow{MC}&=overrightarrow{MB}+overrightarrow{BA}+overrightarrow{MD}+overrightarrow{DC}\ nonumber&=overrightarrow{MB}+overrightarrow{MD}+overrightarrow{BA}+overrightarrow{DC}\ nonumber&=overrightarrow{MB}+overrightarrow{MD} end{align} (ĐPCM).$

V. Bài tập tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 1

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

$a) overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {0;}$

$b) overrightarrow {MA} + overrightarrow {MC} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {MD}$

Gợi ý đáp án

a) ABCD là hình bình hành nên $overrightarrow {DC} = overrightarrow {AB}$

$Rightarrow overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {AB} = overrightarrow {BB} = overrightarrow 0$

$b) overrightarrow {MA} + overrightarrow {MC} = left( {overrightarrow {MB} + overrightarrow {BA} } right) + left( {overrightarrow {MD} + overrightarrow {DC} } right)$

$= overrightarrow {MB} + overrightarrow {MD} (Vì overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {0} )$

Bài 2

Cho tứ giác ABCD, thực hiện cả phép cộng và trừ vectơ sau:

$a) overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CD} + overrightarrow {DA};$

$b) overrightarrow {AB} - overrightarrow {AD}$

$c) overrightarrow {CB} - overrightarrow {CD}$ .

Gợi ý đáp án

a) $overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CD} + overrightarrow {DA} = left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} } right) + left( {overrightarrow {CD} + overrightarrow {DA} } right)$

$= overrightarrow {AC} + overrightarrow {CA} = overrightarrow {AA} = overrightarrow 0$

$b) overrightarrow {AB} - overrightarrow {AD} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {DA} = overrightarrow {DA} + overrightarrow {AB} = overrightarrow {DB}$

$c) overrightarrow {CB} - overrightarrow {CD} = overrightarrow {CB} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {DC} + overrightarrow {CB} = overrightarrow {DB}$

Bài 3

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài các vectơ:

$a) overrightarrow {BA} + overrightarrow {AC} ;$

$b) overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} ;$

$c) overrightarrow {BA} - overrightarrow {BC} .$

Gợi ý đáp án

$a) overrightarrow {BA} + overrightarrow {AC} = overrightarrow {BC} Rightarrow left| {overrightarrow {BC} } right| = BC = a$

b) Dựng hình bình hành ABDC, giao điểm của hai đường chéo là O ta có:

$overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} = overrightarrow {AD}$

$AD = 2AO = 2sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = 2sqrt {{a^2} - {{left( {frac{a}{2}} right)}^2}} = asqrt 3$

$Rightarrow left| {overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} } right| = left| {overrightarrow {AD} } right| = AD = asqrt 3$

$c) overrightarrow {BA} - overrightarrow {BC} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {CB} = overrightarrow {CB} + overrightarrow {BA} = overrightarrow {CA}$

$Rightarrow left| {overrightarrow {BA} - overrightarrow {BC} } right| = left| {overrightarrow {CA} } right| = CA = a$

Bài 5

Cho ba lực $overrightarrow {{F_1}} = overrightarrow {MA} ,overrightarrow {{F_2}} = overrightarrow {MB} và overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow {MC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}}$ đều là 10 N và $widehat {AMB} = 90^circ$ Tìm độ lớn của lực $overrightarrow {{F_3}} .$

Gợi ý đáp án

Ba lực $overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}} ,overrightarrow {{F_3}}$ cùng tác dụng vào M và vật đứng yên nên hợp lực của chúng có giá trị bằng không, hay: $overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} = overrightarrow 0$

Dựng hình bình hành MADB, khi đó: $overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB}= overrightarrow {MD}$

$Rightarrow overrightarrow {MD} + overrightarrow {MC} = overrightarrow {0}$

$Rightarrow overrightarrow {MD}, overrightarrow {MC}$ là hai vecto đối nhau

$Rightarrow MD =MC$

Xét hình bình hành MADB, ta có:

AM=AB và $widehat {AMB} = 90^circ$

$Rightarrow$ MADB là hình vuông, cạnh AB=10

$Rightarrow MC = MD = AB. sqrt{2} = 10sqrt{2}$

Vậy độ lớn của lực $overrightarrow {{F_3}}$ là $left| {overrightarrow {{F_3}} } right| = left| {overrightarrow {MC} } right| = MC = 10sqrt 2 (N)$

Tổng và hiệu của hai vectơ là hai khái niệm quan trọng trong lĩnh vực vectơ học. Việc hiểu và áp dụng chúng không chỉ giúp chúng ta nắm vững kiến thức về vectơ mà còn giúp chúng ta giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến phép cộng và phép trừ vectơ.

Tổng của hai vectơ được tính bằng cách cộng tương ứng các thành phần của hai vectơ lại với nhau. Điều này chỉ ra rằng khi thực hiện phép cộng vectơ, ta tạo ra một vectơ mới có các thành phần là tổng của các thành phần tương ứng của hai vectơ ban đầu. Điều này rất hữu ích trong các bài toán trong đại số tuyến tính, đồ họa máy tính và nhiều lĩnh vực khác, nơi ta cần kết hợp hay tổng hợp thông tin từ các vectơ khác nhau.

Khám Phá Thêm: Công thức tính nhiệt lượng tỏa ra Nhiệt lượng tỏa ra

Hiệu của hai vectơ được tính bằng cách trừ tương ứng các thành phần của vectơ thứ hai từ vectơ thứ nhất. Điều này giúp chúng ta xác định sự khác biệt giữa hai vectơ và phân tích cấu trúc của chúng. Chẳng hạn, việc tính toán hiệu của hai vectơ có thể giúp ta xác định tốc độ, hướng đi hay chuyển động của một vật thể trong không gian.

Tổng và hiệu của hai vectơ có một số tính chất cơ bản. Ví dụ, tính chất giao hoán cho phép ta thay đổi vị trí của hai vectơ trong phép cộng mà không ảnh hưởng đến kết quả. Tính chất phân phối cho phép ta phân loại các thành phần của phép cộng vectơ. Điều này cho phép ta cộng từng thành phần của hai vectơ riêng lẻ trước khi kết hợp chúng lại.

Tổng và hiệu của hai vectơ cũng tạo nên căn cứ cho các phép tính khác như nhân vectơ với một số. Từ nhân vectơ, ta có thể xác định việc giản đồ hoá, mô hình hoá và thể hiện thông tin theo hình ảnh trong đồ họa máy tính và các lĩnh vực khác.

Trên cơ sở những điểm trên, hiểu và áp dụng tổng và hiệu của hai vectơ là một kỹ năng quan trọng trong toán học, có ứng dụng rất rộng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc nắm vững khái niệm và tính chất của tổng và hiệu của hai vectơ không chỉ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về toán học mà còn giúp chúng ta trở thành những người duyệt còn ghi chỉ số ordinal của nhà toán học.

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tổng và hiệu của hai vectơ Ôn tập Toán 10 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Từ Khoá Liên Quan:

1. Vectơ
2. Tổng vectơ
3. Hiệu vectơ
4. Tính chất về tổng vectơ
5. Tính chất về hiệu vectơ
6. Cộng vectơ
7. Trừ vectơ
8. Tông và hiệu của hai vectơ
9. Tỷ số của hai vectơ
10. Phép cộng vectơ
11. Phép trừ vectơ
12. Liên hệ giữa tổng và hiệu của hai vectơ
13. Phép nhân vectơ với số thực
14. Phép chia vectơ cho số thực
15. Phép nhân vectơ với vectơ

I. Tổng của hai vectơ

II. Hiệu của hai vectơ

III. Áp dụng tổng và hiệu hai vecto

IV. Các dạng bài tập tổng và hiệu của vectơ

V. Bài tập tổng và hiệu của hai vectơ

Bài Viết Liên Quan