Bạn đang xem bài viết Tính chất trực tâm trong tam giác: Lý thuyết và các dạng bài tập Ôn tập Toán lớp 7 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.
Tam giác là một khái niệm quen thuộc trong toán học, và việc nghiên cứu về tính chất trực tâm trong tam giác là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Tính chất này không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc tam giác mà còn có thể áp dụng vào việc giải các dạng bài tập liên quan đến tam giác.
Tâm của tam giác được gọi là trực tâm nếu ba đường thẳng đi qua tâm đó và đi qua các đỉnh của tam giác đó là các đường cao của tam giác. Như vậy, tam giác có thể có tối đa một trực tâm hoặc không có trực tâm nếu tam giác đó là tam giác vuông.
Việc nghiên cứu và hiểu rõ tính chất trực tâm trong tam giác giúp chúng ta tìm hiểu các quan hệ và tính chất đặc biệt của các đường thẳng đi qua trực tâm, ví dụ như trực giao hay cùng đồng quy.
Trong bài học này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về lý thuyết và các dạng bài tập ôn tập liên quan đến tính chất trực tâm trong tam giác. Chúng ta sẽ đi qua các khái niệm cơ bản và các công thức tính toán để áp dụng vào việc giải các bài tập. Bên cạnh đó, chúng ta cũng sẽ thực hành thông qua việc giải các bài toán mẫu để nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.
Bài học này sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về tính chất trực tâm trong tam giác, rèn luyện khả năng suy luận và giải quyết vấn đề thông qua các bài tập ôn tập. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá và thực hành để nắm vững kiến thức và nâng cao kỹ năng toán học của mình.
Tính chất trực tâm trong tam giác bao gồm toàn bộ kiến thức về khái niệm trực tâm, cách xác định trực tâm tam giác ví dụ minh họa kèm theo một số bài tập tự luyện.
Trực tâm trong tam giác là một trong những kiến thức quan trọng trong hình học và đặc biệt trong các bài tập liên quan tới hình tam giác. Hi vọng qua bài học hôm nay các bạn học sinh lớp 7 nắm vững khái niệm trực tâm là gì và một số tính chất liên quan kèm theo biết cách vận dụng vào giải bài tập Hình học. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: tam giác vuông cân, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
1. Khái niệm Trực tâm
Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên để xác định trực tâm trong tam giác chúng ta không nhất thiết phải vẽ ba đường cao. Khi vẽ hai đường cao của tam giác ta đã có thể xác định được trực tâm của tam giác.
Đối với các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn tam giác tù hay tam giác cân tam giác đều thì ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau. Từ hai đỉnh của tam giác ta kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai cạnh đó giao nhau tại điểm nào thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác. Và đường cao còn lại chắc chắn cũng đi qua trực tâm của tam giác dù ta không cần kẻ.
Nếu trong một tam giác, có ba đường cao giao nhau tại một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm. Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết.
+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó
+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông
+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó
2. Khái niệm đường cao của một tam giác
Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó, và mỗi tam giác sẽ có ba đường cao.
3. Tính chất ba đường cao của tam giác
– Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Trong hình ảnh bên dưới, S là trực tâm của tam giác LMN.
– Ba đường cao của tam giác bao gồm các tính chất cơ bản sau:
*Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
*Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
*Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
*Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.
*Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
*Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường cao BK. Gọi H là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.
Bài làm
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao của tam giác ABC.
Ta có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC
Suy ra CH là đường cao của tam giác ABC
Vậy CH vuông góc với AB.
4. Cách xác định trực tâm của tam giác
Trực tâm của tam giác nhọn
Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.
Trực tâm của tam giác vuông
Trực tâm chính là đỉnh góc vuông.
Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.
Trực tâm của tam giác tù
Trực tâm của tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.
Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác
5. Bài tập thực hành có đáp án
A. Trắc nghiệm
Câu 1.
Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB.
Tia AC cắt BD ở E. Tính số đo góc
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Đáp án: D
Câu 2
Cho ΔABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó ΔMED là tam giác gì?
A. Tam giác cân
B. Tam giác vuông cân
C. Tam giác vuông
D. Tam giác đều.
Đáp án: A
Câu 3. Cho ΔABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho = = . Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = BC. Tam giác CDF là tam giác gì?
A. Tam giác cân tại F
B. Tam giác vuông tại D
C. Tam giác cân tại D
D. Tam giác cân tại C
Đáp án: A
Bài 3: Cho ΔABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em hãy chọn câu sai:
A. BM = MC
B. ME = MD
C. DM = MB
D. M không thuộc đường trung trực của DE
Vì M là trung điểm của BC (gt) suy ra BM = MC (tính chất trung điểm), loại đáp án A.
Xét ΔBCE có M là trung điểm của BC (gt) suy ra EM là trung tuyến
⇒ EM = BC/2 (1) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cới cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
Xét ΔBCD có M là trung điểm của BC (gt) suy ra DM là trung tuyến
⇒ DM = MB = BC/2 (2) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cới cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy) nên loại đáp án C
Từ (1) và (2) ⇒ EM = DM ⇒ M thuộc đường trung trực của DE. Loại đáp án B, chọn đáp án D
Chọn đáp án D
Bài 4: Cho ΔABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng
A. ΔABO = ΔCOE
B. ΔBOA = ΔCOE
C. ΔAOB = ΔCOE
D. ΔABO = ΔCEO
Xét tam giác ΔAOB và ΔCOE có
+ OA = OC (vì O thuộc đường trung trực của AC )
+ OB = OE (vì O thuộc đường trung trực của BE )
+ AB = CE (giả thiết)
Do đó ΔAOB = ΔCOE (c-c-c)
Chọn đáp án C
B, Tự luận
Bài 1
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
GIẢI
+ Xét ΔABC vuông tại A
AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB
hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà AB cắt AC tại A
⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.
Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông
+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.
+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó
Vậy E nằm ngoài A và B
⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.
+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.
+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.
Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Bài 2: Cho hình vẽ
a) Chứng minh NS ⊥ LM
b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.
GIẢI
a) Trong ΔMNL có:
LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.
MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.
Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S
Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.
⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.
hay SN ⊥ ML.
b)
+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :
ΔNMQ vuông tại Q có:
Bài 3:
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).
Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh KN ⊥ IM.
GIẢI
Vẽ hình minh họa:
Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.
l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.
N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.
IN và MJ cắt nhau tại N .
Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.
⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.
Vậy KN ⏊ IM
Bài 4:
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Gợi ý đáp án
+ Xét ΔABC vuông tại A
AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB
hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà AB cắt AC tại A
⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.
Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông
+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.
+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó
Vậy E nằm ngoài A và B
⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.
+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.
+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.
Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Bài 5: Cho hình vẽ
a) Chứng minh NS ⊥ LM
b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.
Gợi ý đáp án
a) Trong ΔMNL có:
LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.
MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.
Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S
Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.
⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.
hay SN ⊥ ML.
b)
+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :
ΔNMQ vuông tại Q có:
Bài 7:
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).
Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh KN ⊥ IM.
Gợi ý đáp án
Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.
l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.
N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.
IN và MJ cắt nhau tại N .
Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.
⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.
Vậy KN ⏊ IM
Bài 8:
Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.
Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.
⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.
Gợi ý đáp án
Vẽ hình minh họa
a) ΔHBC có :
AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.
BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC
CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.
AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.
b) Tương tự :
+ Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao : CF, AC, BC)
+ Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao : BE, AB, CB)
Bài 9
Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Gợi ý đáp án:
BE là đường cao của vuông tại E.
CF là đường cao của vuông tại F.
AD là đường cao của vuông tại D.
+ Xét ∆ ABE vuông tại E và ∆ AFC vuông tại F có:
BE = CF
chung
(góc nhọn và một cạnh góc vuông).
+ Xét ∆CDA vuông tại D và ∆ AFC vuông tại F có:
AC chung
AD = CF
(cạnh huyền và một cạnh góc vuông).
cân tại B
=> AB = BC (2)
Từ (1), (2) ta có: AB = AC = BC
đều.
Bài 10
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:
a) DE vuông góc với BC.
b) BE vuông góc với DC.
Gợi ý đáp án:
a) Gọi F là giao điểm của DE và BC
+ AD = AE => ∆ADE cân tại A
∆ABC vuông cân tại A => BA ⊥ AC hay EA ⊥ AD
=> ∆ ADE vuông cân tại A
+ ∆ ABC vuông cân tại A
+ Xét ∆EFC có:
=> EF ⊥ BC hay DE ⊥ BC.
b) Xét tam giác BCD có: CA ⊥ BD => CA là đường cao của ∆ BCD
DE ⊥ BC => DE là đường cao của ∆ BCD
Mà DE giao với CA tại E
=> E là trực tâm của ∆ BCD
=> BE ⊥ CD.
Bài 11
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.
Gợi ý đáp án:
Gọi MH giao với BC tại điểm I.
+ Xét ∆MBH và ∆CBH có:
MB = MC
BH chung
=> ∆MBH = ∆CBH (c.g.c)
+ Xét tam giác ABC vuông tại A có:
+ Ta có:
+ Xét tam giác BMI có:
.
=> MI ⊥ BC hay MH vuông góc với BC.
6. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.
Bài 2: Cho đường tròn (O, R) , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.
Bài 3: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.
a) Chứng minh: IJ ⊥ EF
b) Chứng minh: IE ⊥ JE
Bài 4: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.
a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF
b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE
c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.
d) Gọi P;Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC
Chứng minh: P;F;E;Q thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với H qua các đường thẳng chứa các cạnh hay trung điểm của các cạnh nằm trên đường tròn (ABC).
Bài 6: Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF. Trực tâm H.DF cắt BH tại M, DE cắt CH tại N. chứng minh đường thẳng đi qua A và vuông góc với MN đi qua tâm ngoại tiếp của tam giác HBC.
Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có 3 góc ở các đỉnh A, B và C bằng nhau. Gọi H và O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, H, D thẳng hàng.
Trong tam giác, tính chất trực tâm là một khái niệm quan trọng khi ta nghiên cứu về các đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung bình của tam giác. Đặc biệt, tính chất trực tâm cũng liên quan mật thiết đến trung điểm của các cạnh của tam giác.
Theo định nghĩa, điểm trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của các đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung bình của tam giác. Điểm trực tâm cũng đồng thời là trung điểm của các cạnh của tam giác. Điều này đồng nghĩa với việc điểm trực tâm chia tam giác thành sáu tam giác con có diện tích bằng nhau.
Để tính diện tích của tam giác thông qua tính chất trực tâm, ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác thông qua độ dài ba cạnh hoặc độ dài một cạnh và độ lớn của góc tương ứng. Tuy nhiên, khi áp dụng tính chất trực tâm, ta chỉ cần sử dụng độ dài hai cạnh và khoảng cách từ điểm trực tâm đến cạnh tương ứng để tính diện tích.
Các dạng bài tập ôn tập toán lớp 7 về tính chất trực tâm trong tam giác thường yêu cầu học sinh tính diện tích của tam giác thông qua công thức diện tích hoặc sử dụng tính chất trực tâm. Bài tập này giúp học sinh củng cố kiến thức về tính diện tích và rèn luyện kỹ năng tính toán.
Tổng kết lại, tính chất trực tâm là một khái niệm quan trọng trong tam giác. Việc áp dụng tính chất trực tâm giúp ta tính diện tích của tam giác một cách tiện lợi và hiệu quả. Qua việc giải các dạng bài tập ôn tập toán lớp 7 liên quan đến tính chất trực tâm, học sinh có thể rèn luyện kỹ năng tính toán và nắm vững kiến thức cơ bản về tam giác.
Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tính chất trực tâm trong tam giác: Lý thuyết và các dạng bài tập Ôn tập Toán lớp 7 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.
Từ Khoá Liên Quan:
1. Tam giác trực tâm
2. Đường trực tâm
3. Tính chất của tam giác trực tâm
4. Trực tâm của tam giác vuông
5. Điểm trực tâm
6. Tam giác cân trực tâm
7. Các đặc điểm của tam giác trực tâm
8. Tính chất trực tâm trong tam giác đều
9. Tam giác vuông trực tâm
10. Điểm trực tâm chung trong tam giác vuông
11. Tam giác đồng quy và trực tâm
12. Cách xác định tam giác trực tâm
13. Bài tập về tính chất trực tâm trong tam giác
14. Các dạng bài tập về tam giác trực tâm
15. Làm quen với lý thuyết về tam giác trực tâm và bài tập.
