Bạn đang xem bài viết Tính chất trực tâm là gì? 5 tính chất cơ bản trong tam giác tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.
Tam giác là một trong những khái niệm cơ bản trong hình học, và nó có những tính chất đặc biệt quan trọng. Một trong những tính chất quan trọng nhất của tam giác là tính chất trực tâm. Tính chất trực tâm là gì và tại sao nó lại thu hút sự quan tâm của các nhà toán học và học sinh? Hãy cùng tìm hiểu.
Đầu tiên, để hiểu rõ hơn về tính chất trực tâm của tam giác, chúng ta cần biết rằng trực tâm là một điểm duy nhất trên một đường thẳng mà ba đường thẳng nối điểm đó với ba đỉnh của tam giác đi qua. Điểm trực tâm này được ký hiệu là G và được gọi là trọng tâm của tam giác. Tính chất này rất đặc biệt vì nó cho ta một điểm quan trọng giúp phân tích và giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác.
Tiếp theo, tam giác có năm tính chất cơ bản liên quan đến trực tâm. Tính chất đầu tiên là trục liên kết ba điểm A, G và C song song với trục liên kết ba điểm B, G và C. Tính chất này cho ta biết rằng hai đường thẳng trên chứa trực tâm G là song song và không bao giờ giao nhau.
Tính chất thứ hai là tỉ lệ giữa các phân đoạn chia trực tâm G của các đường thẳng nối điểm đó với các đỉnh của tam giác luôn giống nhau. Tức là AG/GC = BG/GA = CG/GB. Điều này có nghĩa rằng tam giác có ba đường thẳng từ trực tâm G đến các đỉnh A, B và C có tỉ lệ như nhau.
Tính chất thứ ba là tổng các góc nội bộ của tam giác luôn bằng 180 độ. Tính chất này cho thấy rằng mỗi đỉnh của tam giác là điểm qua đường thẳng duy nhất chứa hai đột điểm của hai góc nội bộ còn lại.
Tính chất thứ tư là tam giác có trực tâm G là tam giác nội tiếp của tam giác đó. Điều này có nghĩa rằng trực tâm G nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Cuối cùng, tính chất thứ năm là trực tâm G của tam giác là trung điểm của các điểm giao của các đoạn kết hợp từ trực tâm G đến trung điểm của các cạnh của tam giác. Điều này nghĩa là trực tâm G nằm trên đường trung trực của tam giác.
Tính chất trực tâm và các tính chất cơ bản của tam giác không chỉ có ý nghĩa trong lĩnh vực toán học mà còn ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học khác nhau.
Trực tâm tam giác hay trực tâm trong không gian đều là kiến thức hình học cơ bản toán học trung học cơ sở. Vậy Chúng Tôi cùng đi tìm hiểu định nghĩa, cách xác định và tính chất trực tâm của tam giác nhé!
Trực tâm là gì?
Trực tâm là gì?
Trực tâm là giao điểm của 3 đường cao trong một tam giác. Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết.
- Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó.
- Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông.
- Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó.
Ví dụ: Trong ảnh bên dưới, H là trực tâm của tam giác ABC.
Tiếp theo cùng Chúng Tôi tìm hiểu cách xác định và tính chất trực tâm của tam giác nhé!
Cách xác định trực tâm của một số dạng hình học
Đối với mỗi loại tam giác sẽ có cách xác định trực tâm khác nhau:
Tam giác nhọn thì trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó. Ví dụ: Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.
Tam giác vuông thì trực tâm chình là đỉnh góc vuông. Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.
Tam giác tù thì trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó. Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác.
Tính chất trực tâm
Tính chất trực tâm trong tam giác là tài liệu rất hữu ích mà hôm nay Chúng Tôi muốn giới thiệu đến các bạn lớp 7 tham khảo.
- Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại bằng 1/2 khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm.
- Trực tâm tam giác vuông chính là đỉnh góc vuông của tam giác vuông đó.
- Trong tam giác cân thì đường cao cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của đỉnh tam giác cân đó.
- Trong tam giác đều, trực tâm cũng đồng thời là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó.
- Trực tâm nằm ở vùng phía trong 1 tam giác, nếu nó là tam giác nhọn.
- Trực tâm nằm ở vùng ngoài tam giác nếu nó là tam giác tù.
- Theo định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
Sau khi hiểu rõ về tính chất trực tâm thì cùng Chúng Tôi đến khái niệm đường cao của tam giác nhé!
Khái niệm đường cao của một tam giác
Trong toán học, đường cao của một tam giác theo định nghĩa chính là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.
- Cạnh đối diện này thường được gọi là đáy tương ứng với đường cao.
- Theo lý thuyết, giao điểm của đường cao với đáy thì được gọi là chân của đường cao.
- Độ dài của đường cao theo định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.
Trong mỗi tam giác có ba đường cao tương ứng.
Tính chất đường cao của tam giác
Định lí đường cao của tam giác: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Ba đường cao của tam giác bao gồm các tính chất cơ bản sau:
- Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy. Đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
- Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến. Đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
- Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến. Đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
- Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.
- Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Bài tập liên quan đến tính chất trực tâm
Qua những câu hỏi trên chắc hẳn bạn đã hiểu rõ các khái niệm và tính chất trực tâm của tam giác. Vậy cùng Chúng Tôi củng cố kiến thức qua một số bài tập liên quan đến tính chất trực tâm nhé!
Bài 58 trang 83 SGK Toán 7 tập 2
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ngoài tam giác.
Hướng dẫn bài tập 58:
Áp dụng tính chất trực tâm của tam giác ta có:
Trường hợp tam giác vuông:
- Xét tam giác ABC vuông tại A thì BA⊥CA hay A là giao điểm của hai đường vuông góc trong tam giác
- ⇒ A trực tâm của tam giác.
- Vậy trong tam giác vuông thì trực tâm trùng với đỉnh góc vuông.
Trường hợp tam giác tù:
Giả sử tam giác ABC có góc A tù ⇒ BC là cạnh lớn nhất hay BC>BA.
Từ BB kẻ đường thẳng BK vuông góc với CA. Ta có: KA,KC lần lượt là hình chiếu của BA,BC.
Vì BC>BA nên KC>KA hay K phải nằm ngoài đoạn thẳng AC. Do đó ta có đường cao BK.
Tương tự dựa vào tính chất trực tâm của tam giác với đường cao CP.
Gọi H là giao điểm của BK và CP⇒H chính là trực tâm của tam giác. Ta thấy H ở bên ngoài tam giác.
Vậy trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác đó.
Bài 59 trang 83 SGK Toán 7 tập 2
Cho hình 57. Áp dụng tính chất trực tâm của tam giác chứng minh:
a) Chứng minh NS ⊥ LM
b) Khi góc LNP = 50 độ, hãy tính góc MSP và góc PSQ.
Hướng dẫn bài tập 59:
Áp dụng tính chất trực tâm của tam giác ta có:
a) Trong ΔMNL có:
LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.
MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.
Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S
Nên theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.
⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.
hay SN ⊥ ML.
Bài 60 trang 83 SGK Toán 7 tập 2
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Dựa vào tính chất trực tâm của tam giác chứng minh KN ⊥ IM.
Hướng dẫn bài tập 60:
l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.
N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.
IN và MJ cắt nhau tại N .
Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.
⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.
Vậy KN ⏊ IM
Bài 61 trang 83 SGK Toán 7 tập 2
Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Dụa vào tính chất trực tâm:
a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
b) Tương tự, dựa vào tính chất trực tâm. Hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.
Hướng dẫn bài tập 61:
Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.
⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB. (Dựa vào tính chất trực tâm)
a) ΔHBC có :
- AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.
- BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC.
- CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.
AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.
b) Tương tự áp dụng tính chất trực tâm tam giác:
- Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao: CF, AC, BC).
- Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao: BE, AB, CB).
Bài 62 trang 83 SGK Toán 7 tập 2
Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Từ tính chất trực tâm suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều?
Hướng dẫn bài tập 62:
Áp dụng tính chất trực tâm của tam giác ta có:
TH1: Xét ΔABC vuông tại A có các đường cao AD, BA, CA.
- BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC.
- AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A (đpcm).
TH2: Xét ΔABC không có góc nào vuông, hai đường cao BD = CE (như hình vẽ minh họa)
Xét hai tam giác vuông EBC và DCB có :
- BC (cạnh chung).
- CE = BD (giả thiết).
- ⇒ ∆EBC = ∆DCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF (như hình vẽ minh họa).
- CE = BD ⇒ ΔABC cân tại A (như cmt) ⇒ AB = AC.
- CE = AF ⇒ ΔABC cân tại B (như cmt) ⇒ AB = BC:
- ⇒ AB = AC = BC
- ⇒ ΔABC đều.
Hy vọng với những kiến thức tổng hợp trên bạn đã hiểu được tính chất trực tâm là gì và cách giải các bài tập liên quan. Nếu thấy hay nhớ like và chia sẻ giúp Chúng Tôi nhé!
Tính chất trực tâm trong tam giác là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong lĩnh vực hình học tam giác. Tính chất này được đề cập đến việc nối các đỉnh của tam giác với một điểm trong tam giác, được gọi là trực tâm, và khẳng định rằng ba đường thẳng này đồng song song và cắt nhau tại một điểm duy nhất.
Có năm tính chất cơ bản trong tam giác liên quan đến tính chất trực tâm. Đầu tiên, điểm trực tâm chia đối tượng tam giác làm ba phần bằng nhau. Điều này có nghĩa là các phân giác của tam giác trùng nhau và điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các đẳng thức và công thức tính diện tích trong tam giác.
Thứ hai, ba điểm trực tâm của ba tam giác gia đình cân đối với nhau. Điều này có nghĩa là nếu ta xoay tam giác quanh điểm trực tâm của nó, tam giác mới được tạo thành sẽ giống với tam giác ban đầu. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất tỷ lệ giữa diện tích và độ dài cạnh của tam giác.
Thứ ba, điểm trực tâm nằm trên tia nối trung điểm của các cạnh của tam giác. Điều này có nghĩa là nếu ta vẽ các đường thẳng từ điểm trực tâm đến các đỉnh của tam giác, thì điểm trực tâm sẽ nằm trên tia nối hai trung điểm của các cạnh tương ứng.
Thứ tư, điểm trực tâm của tam giác cũng là trọng tâm của tam giác. Điều này có nghĩa là nếu ta treo tam giác lên một điểm trực tâm, thì tam giác sẽ cân đối xung quanh điểm đó. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng công thức tính trọng tâm của tam giác.
Cuối cùng, thứ năm, ba đường thẳng nối từ trực tâm đến các đỉnh của tam giác từ bộ ba góc cùng nhau. Điều này có nghĩa là các đường thẳng này cắt nhau tại một góc bằng nhau và góc này là góc trực. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất của các tam giác đồng dạng.
Tóm lại, tính chất trực tâm là một phần quan trọng của tam giác và nó mang lại nhiều tính chất đặc biệt. Điểm trực tâm chia tam giác thành ba phần bằng nhau, tam giác xoay quanh điểm trực tâm sẽ giống với tam giác ban đầu, điểm trực tâm nằm trên tia nối trung điểm của các cạnh tam giác, điểm trực tâm là trọng tâm của tam giác và ba đường thẳng từ trực tâm đến các đỉnh của tam giác cắt nhau tại một góc bằng nhau. Điều này thể hiện tính chất đặc biệt của tam giác và vẫn đang được nghiên cứu và áp dụng trong nhiều lĩnh vực hình học và toán học khác nhau.
Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tính chất trực tâm là gì? 5 tính chất cơ bản trong tam giác tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.
Từ Khoá Liên Quan:
1. Trực tâm
2. Đường trực tâm
3. Tính chất trực tâm
4. Tâm đường tròn ngoại tiếp
5. Điểm giao của các đường trục
6. Giao điểm của trung trực
7. Tọa độ trực tâm
8. Tam giác trực tâm
9. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
10. Tam giác vuông trực tâm
11. Tính chất trung trực
12. Điểm trung điểm
13. Đường trung bình
14. Tam đường tròn nội tiếp
15. Tam giác cân trực tâm
