Bạn đang xem bài viết Tính chất 3 đường trung trực của tam giác? Bài tập SGK tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.
Tam giác là một hình học cơ bản trong toán học, có nhiều tính chất và đặc điểm độc đáo. Trong đó, ba đường trung trực của tam giác đóng vai trò quan trọng và được xem là những đường trung trực đặc biệt.
Đường trung trực của một tam giác là đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh tam giác và vuông góc với cạnh đó. Ba đường trung trực này tạo thành một hệ thống đặc biệt, mang trong mình những tính chất độc đáo.
Tính chất thứ nhất là ba đường trung trực của tam giác đều cắt nhau tại một điểm duy nhất, gọi là trung điểm của tam giác. Điểm này được định nghĩa là giao điểm của ba đường trung trực.
Tính chất thứ hai là hai đường trung trực của hai cạnh tam giác không nằm trên cạnh đó, sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất. Điểm cắt này được gọi là trung tuyến của tam giác, có tọa độ bằng trung bình cộng từ tọa độ hai đầu mút của hai cạnh tương ứng.
Tính chất thứ ba là đường trung trực của cạnh đối (cạnh không chứa đỉnh tam giác đó) đồng thời là chiều cao của tam giác. Điều này có nghĩa là hai đường trung trực và đường cao của một tam giác, đều cắt nhau tại cùng một điểm, được gọi là trực tâm của tam giác.
Với những tính chất đặc biệt này, ba đường trung trực của tam giác không chỉ tạo nên một hệ thống hình học phức tạp mà còn đóng vai trò quan trọng trong việc tìm hiểu cấu trúc và tính chất của tam giác.
Đường trung trực của một tam giác luôn là kiến thức được sử dụng nhiều nhất trong các đề thi cuối kỳ. Vậy tính chất 3 đường trung trực của tam giác là gì? Hãy cùng Chúng Tôi tìm hiểu nhé.
Đường trung trực của tam giác là gì?
Tính chất 3 đường trung trực của tam giác
Đường trung trực là gì?
Trong hình học mặt phẳng, đường trung trực của một đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.
Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh của tam giác gọi là đường trung trực của tam giác. Trong kiến thức toán hình học lớp 7, đường trung trực và các tính chất 3 đường trung trực của tam giác sẽ là phần trọng tâm trong học kỳ II.
Tính chất 3 đường trung trực của tam giác
Chúng Tôi sẽ nêu tất cả các tính chất 3 đường trung trực của tam một cách dễ nhớ nhất như sau:
- 3 đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm.
- Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Bên cạnh đó, gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Ta có, điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Do vậy, tam giác ABC có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C. Ta gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là tính chất đặc biệt và khó nhớ nhất trong các tính chất 3 đường trung trực của tam giác. Mọi người nên chú ý đến tính chất này.
Tính chất 3 đường trung trực của tam giác – định lý 1
Mọi tam giác đều có 3 đường trung trực. Trong đó, có 2 định lí quan trọng cần phải nhớ.
Định lí 1: Tính chất 3 đường trung trực của tam giác cân
Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.
Ví dụ: Trong một tam giác ABC cân tại A
Nếu AM là đường trung trực của cạnh BC
Suy ra: MB=MC (theo tính chất 3 đường trung trực của tam giác cân)
Tính chất 3 đường trung trực của tam giác – định lý 2
Định lí 2: Tính chất 3 đường trung trực của tam giác thường
Trong tam giác thường, 3 đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Ví dụ: Cho tam giác ABC trong đó:
- a là đường trung trực của BC
- b là đường trung trực của AC
- c là đường trung trực của AB
- b,c cắt nhau tại O
Từ đó ta thấy, O nằm trên đường thẳng a
Suy ra: OA=OB=OC ((theo tính chất 3 đường trung trực của tam giác thường)
Bài tập liên quan đến tính chất 3 đường trung trực của tam giác
Bài tập 1
Cho hình vẽ cùng các dữ kiện đã đánh dấu. Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng
Bài giải
Từ hình vẽ ta có:
+ DK là đường trung trực của AC ⇒ DA = DC.
+ DI là đường trung trực của AB ⇒ DA = DB.
+ Ta có : DI // AC (vì cùng ⏊ AB)
Mà DK ⏊ AC ⇒ DK ⏊ DI
+ Xét ∆ADK và ∆CDK có:
- AD = DC
- AK = CK (gt)
- DK chung
⇒ ∆ADK = ∆CDK (c.c.c)
⇒ Góc ADK = góc CDK (2 góc tương ứng)
⇒ Góc ADC = góc ADK + góc KDC = 2 lần góc ADK (1)
+ Xét ∆ADI và ∆BDI có :
- AD = BD
- AI = BI (gt)
- DI chung
⇒ ∆ADI = ∆BDI (c.c.c)
⇒ Góc ADI = góc BDI (2 góc tương ứng)
⇒ Góc ADB = góc ADI + góc IDB = 2 lần góc ADI (2)
Từ (1) và (2) ⇒ góc BDC = góc ABD + góc ADC = 2 lần góc IDK = 180 độ
⇒ B, C, D thẳng hàng.
Bài tập 2
- Tam giác ABC có 3 góc nhọn
- Tam giác ABC có 1 góc vuông
- Tam giác ABC có một góc tù
Bài giải
Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Để vẽ đường tròn ta cần:
+ Vẽ đường trung trực y của cạnh BC.
+ Vẽ dường trung trực x của cạnh AB.
+ x cắt y tại I là tâm của đường tròn cần vẽ.
+ Vẽ đường tròn tâm I bán kính IA.
Nhận xét:
- Tam giác nhọn có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trong tam giác.
- Tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.
- Tam giác tù có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ngoài tam giác.
Bài tập 3
Chứng minh rằng: Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó. Từ đó, hãy tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông (theo độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông).
Bài giải
Giả sử ∆ABC vuông tại A.
d1 là đường trung trực cạnh AB,
d2 là đường trung trực cạnh AC.
d1 cắt d2 tại M.
Khi đó M là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC và B, M, C thẳng hàng.
+ M cách đều A, B, C
⇒ MB = MC ⇒ M là trung điểm của cạnh BC (đpcm)
+ M là trung điểm của cạnh BC (đpcm)
Giả sử AM là trung tuyến của tam giác ABC
⇒ M là trung điểm của cạnh BC
⇒ MB = MC = BC/2
Mà MA = MB = MC (cmt)
⇒ MA = BC/2
Vậy độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng một nửa độ dài cạnh huyền.
Bài tập 4
Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. Hãy dùng tính chất 3 đường trung trực của tam giác để xác định bán kính của đường viền này?
Bài giải
Để xác định được bán kính ta cần xác định được tâm của đường tròn chứa chi tiết máy này. Ta xác định tâm như sau:
+ Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài chi tiết máy.
+ Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại D.
Khi đó D là tâm cần xác định.
+ Bán kính đường tròn cần tìm là độ dài đoạn DB (hoặc DA hoặc DC). Ta có hình vẽ minh họa
Bài tập 5
Cho tam giác ABC có đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của đường phân giác của tam giác ABK trùng với giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
Dựa vào các tính chất 3 đường trung trực của tam giác, hãy tìm số đo các góc của tam giác ABC.
Bài giải
Gọi O là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABK
Theo đề bài, O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC
Vậy OA = OB = OC và các tam giác AOB, AOC, BOC đều là các tam giác đều tại đỉnh O
Cho góc OAB =a thì góc ABC = KAB = 2a
Vì AK là đường phân giác của góc BAC nên nếu góc KAB = 2a thì góc BAC = 4a
Ta có: ΔAOB = ΔCOB ⇒ AB = CB
Vậy tam giác ABC cân tại đỉnh B
⇒ Góc BAC = góc BCA
Khi đó ta có: 2a + 4a + 4a = 180° ⇒ 10a = 180° ⇒ a = 18°
Vậy số đo cách góc của tam giác ABC là góc A = góc C = 72°, góc B = 36°
Các bạn học sinh lưu ý, các tính chất 3 đường trung trực của tam giác rất dễ nhớ nhưng cũng rất dễ nhầm lẫn. Các bạn nên nắm rõ và hiểu sâu bản chất của từng tính chất. Từ đó, vận dụng vào bài tập để có thể nâng cao được kiến thức và tư duy trong bộ môn hình học. Đừng quên cập nhập các kiến thức khác cùng Chúng Tôi qua những bài viết sau nhé!
Trong tam giác, đường trung trực là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Tam giác có ba đường trung trực, mỗi đường trung trực tương ứng với một đỉnh của tam giác.
Các tính chất của ba đường trung trực của tam giác như sau:
1. Ba đường trung trực cắt nhau tại một điểm duy nhất: Điểm giao của ba đường trung trực được gọi là trọng tâm của tam giác. Trọng tâm là trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.
2. Ba đường trung trực là đồng quy: Ba đường trung trực của tam giác đều đi qua một điểm duy nhất, tức là trọng tâm của tam giác. Điều này có nghĩa là các đường trung trực có chung một điểm, là trọng tâm của tam giác.
3. Ba đường trung trực cắt cạnh tương ứng ở điểm trung điểm: Ba đường trung trực cắt cạnh tương ứng ở trung điểm của các cạnh đó. Điều này có nghĩa là đường trung trực của một đỉnh của tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh đó đến trung điểm của cạnh đối diện.
Tính chất 3 đường trung trực của tam giác đã được chứng minh qua các hệ quả và ứng dụng trong lượng giác và hình học. Ba đường trung trực của tam giác không chỉ mang lại những tính chất hình học phức tạp mà còn hữu ích trong việc tính toán và chứng minh các mệnh đề liên quan đến tam giác.
Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tính chất 3 đường trung trực của tam giác? Bài tập SGK tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.
Từ Khoá Liên Quan:
1. Tam giác
2. Tính chất
3. Đường trung trực
4. Đường thẳng
5. Giao điểm
6. Tâm đường tròn nội tiếp
7. Góc
8. Đỉnh
9. Đối xứng
10. Phân giác
11. Trung điểm
12. Bán kính
13. Trực tâm
14. Trực giác
15. Hình học
