Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên Ôn tập Toán 9

Bạn đang xem bài viết Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên Ôn tập Toán 9 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên là một trong những dạng toán khó, đa dạng về phương pháp giải và linh hoạt về cách suy luận. Chính vì vậy trong bài viết dưới đây thcshuynhphuoc-np.edu.vn sẽ giới thiệu đến các bạn cách tìm m để phương trình có nghiệm nguyên.

Tìm m nguyên để phương trình có nghiệm nguyên gồm cách tìm, ví dụ minh họa kèm theo một số bài tập tự luyện giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện, công thức tính chu vi hình chữ nhật, công thức tính diện tích hình vuông.

Mục Lục Bài Viết

I. Cách tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

1. Các kiến thức liên quan:

Tính chất chia hết của số nguyên.
Tính chất của số chính phương.
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có 2 nghiệm x₁; x₂ thì :

Khám Phá Thêm: Sinh học 12 Bài 4: Hệ gene, đột biến gene và công nghệ gen Giải Sinh 12 Chân trời sáng tạo trang 22, 23, 24, 25, .. , 31

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

2. Các phương pháp giải phương trình bậc 2 với nghiệm nguyên:

– Phương pháp đánh giá

+Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 để chặn khoảng giá trị của biến.

+Đưa về tổng các bình phương để đánh giá

– Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương.

– Đổi vai trò của ẩn

– Đưa về phương trình ước số.

– Tham số hóa để đưa về phương trình ước số.

– Rút ẩn này theo ẩn kia, rồi tách phần nguyên.

– Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét.

II. Ví dụ tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Ví dụ 1: Cho phương trình $Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên Ôn tập Toán 9$ (m là tham số). Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có 2 cách làm bài toán được trình bày như sau:

Cách 1:

Ta có:

$Delta ' = {m^2} - left( {m - 4} right) = {m^2} - m + 4A$

Để phương trình có nghiệm nguyên thì ∆’ phải là số chính phương

Do đó ta có:

$begin{matrix} {m^2} - m + 4 = {k^2},left( {k in mathbb{Z}} right) hfill \ Rightarrow 4{m^2} - 4m + 16 = 4{k^2} hfill \ Rightarrow {left( {2m - 1} right)^2} - 4{k^2} = - 15 hfill \ Rightarrow left( {2m - 1 - 2k} right)left( {2m - 1 + 2k} right) = - 15 hfill \ end{matrix}$

Do k² luôn lớn hơn 0 nên không ảnh hưởng tới giá trị cần tìm của m ta giả sử k ≥ 0 ta có:

(2m – 1 + 2k) ≥ (2m – 1 – 2k)

Do đó ta có các trường hợp như sau:

$begin{matrix} left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 1} \ {2m - 1 + 2k = 15} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m = 4} \ {k = 4} end{array}} right. hfill \ left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 3} \ {2m - 1 + 2k = 55} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m = 1} \ {k = 2} end{array}} right. hfill \ left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 5} \ {2m - 1 + 2k = 3} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \ {k = 2} end{array}} right. hfill \ left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 15} \ {2m - 1 + 2k = 1} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m = - 3} \ {k = 4} end{array}} right. hfill \ end{matrix}$

Thử kiểm tra lại kết quả, thay các giá trị m = -3, m = 0, m = 4 vào phương trình ta thấy đều thỏa mãn điều kiện bài toán

Cách 2: Sử dụng hệ thức Vi – et

Gọi x_1,, x₂ (x₁ < x₂) là hai nghiệm nguyên của phương trình ta có:

Khám Phá Thêm: Tiếng Anh 11 Unit 6: Lesson 3 Soạn Anh 11 i-Learn Smart World trang 66, 67

$begin{matrix} left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m} \ {{x_1}{x_2} = m - 4} end{array}} right. hfill \ Rightarrow {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2} = 8 hfill \ Rightarrow 2left( {{x_1} + {x_2}} right) - 4{x_1}{x_2} - 1 = 15 hfill \ Rightarrow left( {2{x_1} - 1} right)left( {2{x_2} - 1} right) = - 15 hfill \ end{matrix}$

Trường hợp 1: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 1} \ {2{x_2} - 1 = 15} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 0} \ {{x_2} = 8} end{array} Rightarrow m = 4} right.$

Trường hợp 2: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 5} \ {2{x_2} - 1 = 3} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 2} \ {{x_2} = 2} end{array} Rightarrow m = 0} right.$

Trường hợp 3: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 15} \ {2{x_2} - 1 = 1} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 7} \ {{x_2} = 1} end{array} Rightarrow m = - 3} right.$

Trường hợp 4: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 3} \ {2{x_2} - 1 = 5} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 1} \ {{x_2} = 3} end{array} Rightarrow m = 1} right.$

Thử lại kêt quả với m = 0, m = 3, m = -3, m = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: Tìm các số nguyên m để phương trình ${x^2} - left( {4 + m} right)x + 2m = 0$ có các nghiệm là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$begin{matrix} {m^2} + 16 = {k^2},left( {k in mathbb{Z}} right) hfill \ Rightarrow {m^2} - {k^2} = - 16 hfill \ Rightarrow left( {m + k} right)left( {m - k} right) = - 16 hfill \ end{matrix}$

Để phương trình có nghiệm nguyên thì ∆ phải là số chính phương. Khi đó ta có:

Ta thấy (m + k) – (m – k) = 2k

=> (m + k) và (m – k) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Do tích là 16 nên là cùng chẵn

Mặt khác m + k ≥ m – k do đó ta có bảng số liệu như sau:

m + k	8	4	2
m – k	–2	-4	-8
m	3	0	-3

Kiểm tra lại kết quả ta thấy m = -3, m = 0, m = 3 đều thỏa mãn điều kiện phương trình.

Vậy m = -3, m = 0, m = 3 là các giá trị cần tìm.

III. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị nguyên của a sao cho với các giá trị đó phương trình : $x^{2}+a x+a=0$ có nghiệm nguyên .

Bài 2: Cho phương trình :

$(mathrm{m}-1) mathrm{x}^{2}-(2 mathrm{~m}+1) mathrm{x}+mathrm{m}^{2}-2 mathrm{~m}+4=0$

Tìm tất cả các giá trị nguyên của m đề phương trình có các nghiệm đều là số nguyên .

Bài 3 : Tìm tất cả các số nguyên a để phương trình:

$mathrm{x}^{2}-(3+2 mathrm{a}) mathrm{x}+40-mathrm{a}=0$

Bài 4: Tìm x, y nguyên thỏa mãn:

$7 x^{2}+13 y^{2}=1820$

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

$2 x^{6}-2 x^{3} y+y^{2}=64$

Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau:

$a) 2 x y-4 x-y=1$

$b) 2 x y-x-y+1=0$

$c) 6 x^{2}+7 y^{2}=229$

$d) 8 x^{2}-5 y^{2}+10 x+4=0$

Bài 7 : Tìm các số hữu tỉ x để $mathrm{x}^{2}+mathrm{x}+6$ là số chính phương.

Bài tập 8: Cho phương trình $bleft( {b + 3} right){x^2} - 2x - left( {b + 1} right)left( {b + 2} right) = 0$ (b là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm hữu tỉ

Khám Phá Thêm: Văn mẫu lớp 7: Cảm nghĩ về bài thơ Rằm tháng giêng (Dàn ý + 11 mẫu) Những bài văn hay lớp 7

b) Xác định tham số b để phương trình có các nghiệm đều nguyên.

Bài tập 9: Cho phương trình ${x^2} - left( {2m + 3} right)x + 3m + 1 = 0$ (m là tham số). Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Bài tập 10: Cho phương trình ${x^2} - {m^2}x + m + 1 = 0$ (m là tham số). Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên Ôn tập Toán 9 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Từ Khoá Liên Quan: