Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Ôn tập Toán 9

Bạn đang xem bài viết Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Ôn tập Toán 9 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Trong bài toán ở phần ôn tập Toán lớp 9, chúng ta cần tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Để làm điều này, chúng ta cần nhớ lại các kiến thức và quy tắc về đồ thị hàm số.

Trước hết, chúng ta nhớ lại rằng một phương trình bậc hai có dạng ax^2 + bx + c = 0, trong đó a, b và c là các hệ số.

Để có hai nghiệm trái dấu, đồ thị hàm số phải cắt trục Ox tại hai điểm khác nhau. Tức là, phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt.

Để tìm điều kiện để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu, chúng ta sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta có:

x₁ = (-b + √(b^2 – 4ac)) / 2a
x₂ = (-b – √(b^2 – 4ac)) / 2a

Giá trị trong căn dấu √(b^2 – 4ac) được gọi là delta (Δ) và quyết định vị trí của điểm cắt giữa đồ thị hàm số và trục Ox. Để có hai nghiệm trái dấu, ta cần Δ > 0 và a, b, c có hướng giống nhau.

Ở phần tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng những kiến thức và quy tắc đã nêu trên để tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu là dạng toán quen thuộc trong chương trình toán 9. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu giúp các bạn học sinh lớp 9 có thêm nhiều tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để nhanh chóng giải được các bài Toán 9. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Mục Lục Bài Viết

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

I. Lý thuyết tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu

1. Định lý Vi-ét:

Khám Phá Thêm: Văn bản nghị luận này giúp em hiểu thêm được gì về bài thơ Tiếng gà trưa đã học ở Bài 2? Soạn bài Vẻ đẹp của bài thơ "Tiếng gà trưa" CD

Nếu phương trình $Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Ôn tập Toán 9$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ phân biệt thì $left{ begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = frac{{ - b}}{a}\ P = {x_1}{x_2} = frac{c}{a} end{array} right.$

+ Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

2. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu $Leftrightarrow P < 0$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu $Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta > 0\ P > 0 end{array} right.$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương $Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta > 0\ P > 0\ S > 0 end{array} right.$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm $Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta > 0\ P > 0\ S < 0 end{array} right.$

II. Ví dụ tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu

Bài 1: Tìm m để phương trình ${x^2} - left( {{m^2} + 1} right)x + {m^2} - 7m + 12 = 0$ có 2 nghiệm trái dấu

Gợi ý đáp án

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu $Leftrightarrow P < 0$ .

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu $Leftrightarrow P < 0$

$begin{array}{l} Leftrightarrow {m^2} - 7m + 12 < 0\ Leftrightarrow left( {m - 3} right)left( {m - 4} right) < 0 end{array}$

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: $left{ begin{array}{l} m - 3 > 0\ m - 4 < 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m > 3\ m < 4 end{array} right. Leftrightarrow 3 < m < 4$

Trường hợp 2: $left{ begin{array}{l} m - 3 < 0\ m - 4 > 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m < 3\ m > 4 end{array} right.$ (vô lý)

Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài 2: Tìm m để phương trình $3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu $Leftrightarrow left{ begin{gathered} Delta ' > 0 hfill \ P > 0 hfill \ end{gathered} right.$ .

Gợi ý đáp án

$3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta ' > 0$

Có $Delta ' = 4{m^2} - 3left( {{m^2} - 2m - 3} right)$

$begin{gathered} = 4{m^2} - 3{m^2} + 6m + 9 hfill \ = {m^2} + 6m + 9 hfill \ = {left( {m - 3} right)^2} > 0forall m ne 3 hfill \ end{gathered}$

Với mọi m ≠ 3, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$left{ begin{gathered} {x_1} + {x_2} = frac{{ - b}}{a} = frac{{4m}}{3} hfill \ {x_1}{x_2} = frac{c}{a} = frac{{{m^2} - 2m - 3}}{3} hfill \ end{gathered} right.$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

$P > 0 Leftrightarrow 3left( {{m^2} - 2m - 3} right) > 0$

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: $left{ begin{gathered} m + 1 > 0 hfill \ m - 3 > 0 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} m > - 1 hfill \ m > 3 hfill \ end{gathered} right. Rightarrow m > 3$

Trường hợp 2: $left{ begin{gathered} m + 1 < 0 hfill \ m - 3 < 0 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} m < - 1 hfill \ m < 3 hfill \ end{gathered} right. Rightarrow m < - 1$

Vậy với m < -1 hoặc m < 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Bài 3: Tìm m để phương trình ${x^2} - left( {2m + 3} right)x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm $Leftrightarrow left{ begin{gathered} Delta > 0 hfill \ P > 0 hfill \ S < 0 hfill \ end{gathered} right.$

Gợi ý đáp án

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm $Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta > 0\ P > 0\ S < 0 end{array} right.$

Với $Delta > 0 Leftrightarrow {left( {2m + 3} right)^2} - 4m > 0$

$begin{array}{l} Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 - 4m > 0\ Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 9 > 0\ Leftrightarrow 4left( {{m^2} + 2m + 1} right) + 5 > 0\ Leftrightarrow 4{left( {m + 1} right)^2} + 5 > 0forall m end{array}$

Với $P > 0 Leftrightarrow m > 0$

Với $S < 0 Leftrightarrow 2m + 3 < 0 Leftrightarrow m < frac{{ - 3}}{2}$ kết hợp với m > 0

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 4: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương $Leftrightarrow left{ begin{gathered} Delta ' > 0 hfill \ P > 0 hfill \ S > 0 hfill \ end{gathered} right.$

Gợi ý đáp án

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương $Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta ' > 0\ P > 0\ S > 0 end{array} right.$

Với $Delta ' > 0 Leftrightarrow {m^2} - left( {2m - 4} right) > 0$

$begin{array}{l} Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0\ Leftrightarrow left( {{m^2} - 2m + 1} right) + 3 > 0\ Leftrightarrow {left( {m - 1} right)^2} + 3 > 0forall m end{array}$

Với $P > 0 Leftrightarrow 2m - 4 > 0 Leftrightarrow m > 2$

Với $S > 0 Leftrightarrow 2 > 0$ (luôn đúng)

Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

III. Bài tập tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu

Bài 1: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2left( {m + 1} right)x + m + 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

Khám Phá Thêm: Văn mẫu lớp 8: Phân tích bức tranh tứ bình trong bài Nhớ rừng 2 Dàn ý & 7 bài văn mẫu lớp 8 hay nhất

a) Trái dấu.	b) Cùng dấu.
c) Cùng dấu âm.	d) Cùng dấu dương.

Bài 2: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2mx - 6m - 9 = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 13$

Bài 3: Tìm m để phương trình ${x^2} - left( {2m + 3} right)x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

a) Trái dấu.	b) Cùng dấu.
c) Cùng dấu âm.	d) Cùng dấu dương.

Bài 4: Tìm m để phương trình ${x^2} - 8x + m + 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

Bài 5: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2mx + 5m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

Bài 6: Tìm m để phương trình $2{x^2} + left( {2m - 1} right)x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 7: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 8: Tìm m để phương trình ${x^2} - left( {m + 1} right)x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

Bài 9: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2left( {m + 1} right)x + m + 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

Bài 10: Cho phương trình ${x^2} + left( {m + 2} right)x + m = 0$ . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

Trong quá trình ôn tập Toán 9, chúng ta đã được học về phương trình bậc nhất và bậc hai. Qua việc giải các phương trình, ta thấy một số phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Trên tầm hiểu biết và kỹ năng tính toán của mình, để có 2 nghiệm trái dấu, ta cần tìm giá trị m thích hợp. Bài viết này sẽ trình bày về cách tìm giá trị m đó.

Đầu tiên, để phương trình có 2 nghiệm trái dấu, ta cần xét trường hợp phương trình bậc nhất và trường hợp phương trình bậc hai.

Với phương trình bậc nhất ax + b = 0, trong đó a và b là các hệ số đã cho, ta có thể thấy rằng nếu a và b có dấu trái dấu, tức là a > 0 và b < 0 hoặc a < 0 và b > 0, thì phương trình sẽ có 2 nghiệm trái dấu. Ví dụ, xét phương trình 2x – 3 = 0, ta thấy rằng a = 2 > 0 và b = -3 < 0, do đó phương trình có 2 nghiệm trái dấu là x = 3/2 và x = 0.

Với phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0, ta cần xét trường hợp khi delta (Δ) nhỏ hơn 0 để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Khi Δ < 0, ta có hai trường hợp xảy ra:

– Nếu a > 0, tức là hệ số của x^2 là dương, thì phương trình sẽ có 2 nghiệm trái dấu nếu hệ số b nhỏ hơn 0 và c > 0 hoặc hệ số b lớn hơn 0 và c < 0. Ví dụ, xét phương trình x^2 – 4x + 5 = 0, ta thấy rằng a = 1 > 0, b = -4 < 0 và c = 5 > 0, do đó phương trình có 2 nghiệm trái dấu là x = 2 – √3 và x = 2 + √3.

Khám Phá Thêm: Những mẫu kết đoạn nghị luận xã hội 15 mẫu kết đoạn nghị luận xã hội

– Ngược lại, nếu a < 0, tức là hệ số của x^2 là âm, thì phương trình sẽ có 2 nghiệm trái dấu nếu hệ số b lớn hơn 0 và c > 0 hoặc hệ số b nhỏ hơn 0 và c < 0. Ví dụ, xét phương trình -x^2 + 3x – 2 = 0, ta thấy rằng a = -1 < 0, b = 3 > 0 và c = -2 < 0, do đó phương trình có 2 nghiệm trái dấu là x = 2 – √3 và x = 2 + √3.

Tổng kết lại, để phương trình có 2 nghiệm trái dấu, ta cần tìm giá trị m thích hợp. Trong trường hợp phương trình bậc nhất, a và b phải có dấu trái dấu. Trong trường hợp phương trình bậc hai, nếu Δ < 0, ta cần xét thêm hệ số a và điều kiện của b và c để điều chỉnh m sao cho phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

Qua việc ôn tập và tìm hiểu, ta nhận thấy rằng để tìm giá trị m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là một kỹ năng quan trọng trong việc giải các bài toán toán học. Việc áp dụng kiến thức và hiểu biết về các loại phương trình sẽ giúp chúng ta nắm vững phần này và áp dụng vào các tình huống thực tế trong cuộc sống.

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Ôn tập Toán 9 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Từ Khoá Liên Quan:

1. Phương trình đa thức bậc hai.
2. Nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
4. Bất đẳng thức.
5. Thực nghiệm của phương trình bậc hai.
6. Chất điều kiện tồn tại nghiệm trái dấu.
7. Đa thức tròn.
8. Đa thức nối tiếp.
9. Số phức.
10. Tích của hai nghiệm.
11. Hiệu của hai nghiệm.
12. Tổng hai nghiệm.
13. Phương trình bật nhất.
14. Mô hình giải bất đẳng thức.
15. Lũy thừa bậc hai.