Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử

Bạn đang xem bài viết Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Phân tích đa thức thành nhân tử là một phương pháp quan trọng trong đại số đa thức, giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến đa thức một cách hiệu quả. Bằng cách phân tích một đa thức thành nhân tử, chúng ta có thể tìm ra các giá trị của nó, xác định các điểm cực trị, và xác định đồ thị của nó.

Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các công thức nhân tử và quy tắc đại số để phân tích đa thức thành những thành phần có thể giải quyết được. Thông thường, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách xác định các thừa số chung của đa thức, sau đó tiếp tục phân tích những đa thức con nằm trong thừa số chung.

Một điều quan trọng khi sử dụng phương pháp này là việc phân tích đa thức thành nhân tử không phải lúc nào cũng có thể thực hiện. Đa thức có thể không được phân tích thành nhân tử hoặc phân tích thành nhân tử trở nên rất phức tạp. Do đó, việc đánh giá cẩn thận trước khi áp dụng phương pháp này là rất cần thiết.

Qua việc phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta có thể thu được thông tin quan trọng về tính chất của đa thức đó. Điều này giúp chúng ta sử dụng đa thức một cách hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như toán học, kỹ thuật, và khoa học máy tính. Nhờ phương pháp này, chúng ta có thể giải quyết các bài toán phức tạp dễ dàng hơn và đạt được những kết quả chính xác.

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là tài liệu vô cùng hữu ích cung cấp cho các em học sinh lớp 8 tài liệu tham khảo, học tập, bồi dưỡng và nâng cao kiến thức môn toán theo chương trình hiện hành.

Cách phân tích đa thức thành nhân tử tổng hợp toàn bộ kiến thức về phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kèm theo một số bài tập có đáp án giải chi tiết kèm theo. Hi vọng qua tài liệu này các em sẽ vận dụng kiến thức của mình để làm bài tập, rèn luyện linh hoạt cách giải các dạng đề để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: bài tập về hằng đẳng thức, Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác.

Mục Lục Bài Viết

Cách phân tích đa thức thành nhân tử

I. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
II. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

I. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Bản chất : Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ứng dụng :Tính nhanh, giải các bài toán về tìm x, giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, rút gọn biểu thức.

Khám Phá Thêm: Hoàn cảnh ra đời của bản Tuyên ngôn độc lập Tuyên ngôn độc lập của Hồ Chí Minh

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp : Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó.

A + B = C.A₁ + C.B₁= C(A₁ + B₁)

Bài toán 1: Phân tích thành nhân tử.

a. 20x – 5y

b) 4x²y – 8xy²+ 10x²y²

c. 5x(x – 1) – 3x(x – 1)

d. 20x²y – 12x³

e. x(x + y) – 6x – 6y

g. 8x⁴+ 12x²y⁴ – 16x³y⁴

h. 6x³– 9x²

i. 4xy² + 8xyz

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a. 3x(x +1) – 5y(x + 1)

b. 3x³(2y – 3z) – 15x(2y – 3z)²

c. 3x(x – 6) – 2(x – 6)

d. 3x(z + 2) + 5(-x – 2)

đ. 4y(x – 1) – (1 – x)

e. 18x²(3 + x) + 3(x + 3)

g. (x – 3)³+ 3 – x

h. 14x²y – 21xy² + 28x²y²

i. 7x(x – y) – (y – x)

k. 10x(x – y) – 8y(y – x)

Bài toán 3 : Tìm x biết.

a. 4x(x + 1) = 8(x + 1)

b. x(x – 1) – 2(1 – x) = 0

c. 2x(x – 2) – (2 – x)²= 0

d. (x – 3)³+ 3 – x = 0

e. 5x(x – 2) – (2 – x) = 0

g) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

h) x²– 4x = 0

k) (1 – x)² – 1 + x = 0

m) x + 6x² = 0

n) (x + 1) = (x + 1)²

Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phương pháp : Biến đổi đa thức bạn đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.

Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 4x²– 1

b) 25x²– 0,09

c) 9x² – $Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử$

d) (x – y)²– 4

e) 9 – (x – y)²

f) (x² + 4)² – 16x²

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x⁴– y⁴

b) x² – 3y²

c) (3x – 2y)² – (2x – 3y)²

d) 9(x – y)²– 4(x + y)²

e) (4x² – 4x + 1) – (x + 1)²

f) x³+ 27

g) 27x³– 0,001

h) 125x³ – 1

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x⁴+ 2x² + 1

b) 4x² – 12xy + 9y²

c) -x²– 2xy – y²

d) (x + y)² – 2(x + y) + 1

e) x³– 3x²+ 3x – 1

g) x³ + 6x² + 12x + 8

h) x³+ 1 – x²– x

k) (x + y)³ – x³ – y³

Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Bài toàn 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x²– x – y² – y

b) x² – 2xy + y² – z²

c) 5x – 5y + ax – ay

d) a³– a²x – ay + xy

e) 4x²– y²+ 4x + 1

f) x³ – x + y³ – y

Bài toán 3 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x²– y² – 2x + 2y

b) 2x + 2y – x² – xy

c) 3a²– 6ab + 3b² – 12c²

d) x² – 25 + y² + 2xy

e) a²+ 2ab + b² – ac – bc

f) x² – 2x – 4y² – 4y

g) x²y – x³– 9y + 9x

h) x²(x -1) + 16(1- x)

Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

Phương pháp:

Vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

$a) x^{4}+4=x^{4}+left(4 x^{2}-4 x^{2}right)+4=x^{4}+4 x^{2}+4-4 x^{2}=left(x^{2}+2right)^{2}-4 x^{2}$

$=left(x^{2}+2-2 xright)left(x^{2}+2+2 xright)$

$b) x^{4}+1=x^{4}+2 x^{2}-2 x^{2}+1=x^{4}+2 x^{2}+1-2 x^{2}=left(x^{2}+1right)^{2}-2 x^{2}=left(x^{2}+1right)^{2}-(x sqrt{2})^{2}$

$=left(x^{2}+1-x sqrt{2}right)left(x^{2}+1+x sqrt{2}right)$

$c) 3 x^{2}+8 x+4=3 x^{2}+8 x+16-12=left(3 x^{2}-12right)+(8 x+16)=3left(x^{2}-4right)+8(x+2)$

$=3(x-2)(x+2)+8(x+2)=(x+2)[3(x-2)+8]=(x+2)(3 x+2)$

hoặc: $3 x^{2}+8 x+4=4 x^{2}-x^{2}+8 x+4=left(4 x^{2}+8 x+4right)-x^{2}=(2 x+2)^{2}-x^{2}$

$=(2 x+2-x)(2 x+2+x)=(x+2)(3 x+2)$

Phương pháp 5: Phương pháp thêm, bớt một hạng tử.

Ví dụ :

a) y⁴+ 64 = y⁴+ 16y² + 64 – 16y²

= (y² + 8)² – (4y)²

= (y² + 8 – 4y)(y² + 8 + 4y)

Bài toán 1 : phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x⁴+ 16

b) x⁴y⁴ + 64

c) x⁴y⁴ + 4

d) 4x⁴y⁴+ 1

e) x⁴+ 1 f) x⁸ + x + 1

g) x⁸+ x⁷+ 1

h) x⁸+ 3x⁴ + 1

k) x⁴ + 4y⁴

Bài toán 2 : phân tích đa thức thành nhân tử :

a) a²– b² – 2x(a – b)

b) a² – b² – 2x(a + b)

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x⁴y⁴+ 4

b) 4x⁴ + 1

c) 64x⁴ + 1

d) x⁴ + 64

Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :

Khám Phá Thêm: Cách tính phương sai và độ lệch chuẩn Ôn tập Toán 10

a) 16x⁴(x – y) – x + y

b) 2x³y – 2xy³– 4xy²– 2xy

c) x(y²– z²) + y(z²– x²) + z(x² – y²)

Bài toán 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) 4x – 4y + x²– 2xy + y²

b) x⁴ – 4x³ – 8x² + 8x

c) x³+ x²– 4x – 4

d) x⁴ – x² + 2x – 1

e) x⁴+ x³+ x² + 1

f) x³ – 4x² + 4x – 1

Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x³+ x²y – xy² – y³

b) x²y² + 1 – x² – y²

c) x²– y²– 4x + 4y

d) x² – y² – 2x – 2y

e) x²– y²– 2x – 2y

f) x³ – y³ – 3x + 3y

Bài toán 5 : Tìm x, biết.

a)x³– x² – x + 1 = 0

b) (2x³ – 3)² – (4x² – 9) = 0

c) x⁴+ 2x³– 6x – 9 = 0

d) 2(x + 5) – x² – 5x = 0

Bài toán 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a. A = x²– x + 1

b. B = 4x²+ y² – 4x – 2y + 3

c. C = x²+ x + 1

d) D = x² + y² – 4(x + y) + 16

e) E = x² + 5x + 8

g) G = 2x² + 8x + 9

Bài toán 7 :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

a. A = -4x²– 12x

b) B = 3 – 4x – x²

c) C = x²+ 2y²+ 2xy – 2y

d) D = 2x – 2 – 3x²

e) E = 7 – x²– y²– 2(x + y)

II. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 14x²– 21xy²+ 28x²y² = 7x(2x – 3y² + 4xy²)

b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x)

c) x²+ 4x – y²+ 4 = (x + 2)²– y² = (x + 2 – y)(x + 2 + y)

Bài 2: Giải phương trình sau :

2(x + 3) – x(x + 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x₁ = –3: x₂= 2

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)8x³+ 4x²– y³– y² = (8x³– y³) + (4x²– y²)

b) x²+ 5x –6 = x² + 6x – x – 6

= x(x + 6) – (x + 6)

= (x + 6)(x – 1)

c. a⁴+ 16 = a⁴+ 8a² + 16 – 8a²

= (a² + 4)² – (a)²

= (a² + 4 +a)( a² + 4 – a)

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a) (x⁵+ x³+ x² + 1):(x³ + 1)

b) (x²–5x + 6):(x – 3)

Giải:

a) Vì x⁵+ x³+ x² + 1

= x³(x² + 1) + x² + 1

= (x² + 1)(x³ + 1)

nên (x⁵ + x³ + x² + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)(x³ + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)

b)Vì x²– 5x + 6

= x²– 3x – 2x + 6

= x(x – 3) – 2(x – 3)

= (x – 3)(x – 2)

nên (x²– 5x + 6):(x – 3)

= (x – 3)(x – 2): (x – 3)

= (x – 2)

Bài 5 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x²– y² – 2x + 2y

b) 2x + 2y – x² – xy

c) 3a²– 6ab + 3b² – 12c²

d) x² – 25 + y² + 2xy

e) a²+ 2ab + b² – ac – bc

f) x² – 2x – 4y² – 4y

g) x²y – x³– 9y + 9x

h) x²(x -1) + 16(1- x)

Bài 6:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) 4x² – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

2) 3(x+ 4) – x² – 4x

3) 5x² – 5y² – 10x + 10y

4) x² – xy + x – y

5) ax – bx – a² + 2ab – b²

6) x² + 4x – y² + 4

7) x³ – x² – x + 1

8) x⁴ + 6x²y + 9y² – 1

9) x³ + x²y – 4x – 4y

10) x³ – 3x² + 1 – 3x

11) 3x² – 6xy + 3y² – 12z²

12) x² – 2x – 15

13) 2x² + 3x – 5

14) 2x² – 18

15) x² – 7xy + 10y²

16) x³ – 2x² + x – xy²

Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. x²+ 2xy – 8y²+ 2xz + 14yz – 3z²

2. 3x²– 22xy – 4x + 8y + 7y²+ 1

3. 12x²+ 5x – 12y²+ 12y – 10xy – 3

4. 2x²– 7xy + 3y²+ 5xz – 5yz + 2z²

5. x²+ 3xy + 2y²+ 3xz + 5yz + 2z²

6. x²– 8xy + 15y²+ 2x – 4y – 3

7. x⁴– 13x²+ 36

8. x⁴+ 3x²– 2x + 3

9. x⁴+ 2x³+ 3x² + 2x + 1

Bài tập 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1. (a – b)³+ (b – c)³+ (c – a)³

2. (a – x)y³– (a – y)x³– (x – y)a³

3. x(y²– z²) + y(z²– x²) + z(x² – y²)

4. (x + y + z)³– x³– y³ – z³

5. 3x⁵– 10x⁴– 8x³ – 3x² + 10x + 8

6. 5x⁴+ 24x³– 15x² – 118x + 24

7. 15x³+ 29x²– 8x – 12

8. x⁴– 6x³+ 7x² + 6x – 8

9. x³+ 9x²+ 26x + 24

Bài tập 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Khám Phá Thêm: Soạn bài Vẻ đẹp của Sông Đà Chân trời sáng tạo Ngữ văn lớp 9 trang 18 sách Chân trời sáng tạo tập 1

1. a(b + c)(b²– c²) + b(a + c)(a²– c²) + c(a + b)(a² – b²)

2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

3. a(b²– c²) – b(a²– c²) + c(a² – b²)

4. (x – y)⁵+ (y – z)⁵+ (z – x)⁵

5. (x + y)⁷– x⁷– y⁷

6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc

7. (x + y + z)⁵– x⁵– y⁵ – z⁵

8. a(b²+ c²) + b(c²+ a²) + c(a² + b²) + 2abc

9. a³(b – c) + b³(c – a) + c³(a – b)

10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1

Bài tập 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. (x²+ x)²+ 4x² + 4x – 12

2. (x²+ 4x + 8)²+ 3x(x² + 4x + 8) + 2x²

3. (x²+ x + 1)(x²+ x + 2) – 12

4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

5. (x²+ 2x)²+ 9x² + 18x + 20

6. x²– 4xy + 4y²– 2x + 4y – 35

7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

8. (x²+ x)²+ 4(x² + x) – 12

9. 4(x²+ 15x + 50)(x²+ 18x + 72) – 3x²

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là một công cụ quan trọng trong toán học giúp chúng ta tìm hiểu và giải quyết các vấn đề liên quan đến đa thức. Bằng cách sử dụng phương pháp này, chúng ta có thể phân tích một đa thức thành nhân tử và nhận được thông tin quan trọng về các yếu tố chính và tính chất của nó.

Việc phân tích đa thức thành nhân tử cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc và thuộc tính của các đa thức. Nó giúp chúng ta tìm ra được các yếu tố chính của đa thức, các hệ số, và các mức độ cao cũng như các định thức của nó. Điều này lại rất hữu ích trong việc giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau như toán học, vật lý, kỹ thuật, và kinh tế.

Một trong những lợi ích lớn của phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là việc chúng ta có thể tìm ra giá trị của các nghiệm của đa thức. Bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta có thể xác định được các giá trị của x mà đa thức bằng không. Điều này giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến tìm nghiệm và tìm cực trị của hàm số, từ đó đưa ra các kết luận và ứng dụng trong thực tế.

Ngoài ra, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử còn giúp chúng ta tối ưu hoá quá trình tính toán. Thay vì phải xử lý với một đa thức phức tạp, chúng ta chỉ cần làm việc với các đa thức nhỏ hơn và dễ hiểu hơn. Điều này giúp tiết kiệm thời gian và tăng cường hiệu suất trong quá trình tính toán.

Tóm lại, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là một công cụ rất hữu ích trong giải toán đa thức. Nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của đa thức, giải quyết các bài toán tìm nghiệm và tối ưu hoá quá trình tính toán. Việc nắm vững phương pháp này sẽ là một lợi thế trong việc giải quyết các vấn đề toán học và áp dụng trong thực tế.

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Từ Khoá Liên Quan:

1. Đa thức
2. Phân tích
3. Nhân tử
4. Phương pháp
5. Đa thức đổi mẫu
6. Phân tích đa thức thành nhân tử
7. Số thực
8. Số phức
9. Thừa số chung
10. Phân tích tách nhân tử
11. Đa thức bậc hai
12. Đa thức bậc ba
13. Tìm không gian mũ
14. Khai triển
15. Biểu thức đa thức