Giải Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Giải SGK Toán 9 Tập 2 (trang 15, 16)

Bạn đang xem bài viết Giải Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Giải SGK Toán 9 Tập 2 (trang 15, 16) tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Giải Toán lớp 9 trang 15, 16 tập 2 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi và bài tập trong SGK bài 3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Giải Toán 9 Bài 3 trang 15, 16 tập 2 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán. Giải Toán lớp 9 trang 15, 16tập 2 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Mục Lục Bài Viết

Trả lời câu hỏi Toán 9 Bài 3

Câu hỏi 1

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế (biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai của hệ)

$left{ begin{matrix} 4x-5y=3 \ 3x-y=16 \ end{matrix} right.$

Gợi ý đáp án

Ta biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai ta có:

$left{ begin{matrix} 4x-5y=3 \ 3x-y=16 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} 4x-5y=3 \ y=3x-16 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} 4x-5.left( 3x-16 right)=3 \ y=3x-16 \ end{matrix} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{matrix} -11x+80=3 \ y=3x-16 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} x=7 \ y=5 \ end{matrix} right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (7; 5)

Câu hỏi 2

Bằng minh họa hình học và bằng phương pháp thế, chứng tỏ rằng hệ (IV) vô số nghiệm.

Khám Phá Thêm: Đề cương ôn tập học kì 2 môn Công nghệ 11 sách Kết nối tri thức với cuộc sống Ôn tập cuối kì 2 Công nghệ 11 (Công nghệ cơ khí)

$left( III right)left{ begin{matrix} 4x-2y=-6 \ -2x+y=3 \ end{matrix} right.$

Gợi ý đáp án

Minh họa hình học

$left( III right)left{ begin{matrix} 4x-2y=-6 \ -2x+y=3 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} 2y=4x+6text{ (d)} \ y=2x+3text{ (d }!!'!!text{ )} \ end{matrix} right.$

Biểu diễn hai đường thẳng d và d’ như hình vẽ sau:

Nhận xét: Hai đường thẳng trên trùng nhau hay hệ phương trình (III) vô số nghiệm.

Giải Toán 9 trang 15 tập 2

Bài 12 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $left{begin{matrix} x - y =3 & & \ 3x-4y=2 & & end{matrix}right.$

b) $left{begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \ 4x+y=2 & & end{matrix}right.$

c) $left{begin{matrix} x +3y =-2 & & \ 5x-4y=11 & & end{matrix}right.$

Xem gợi ý đáp án

a) $left{begin{matrix} x - y =3 & & \ 3x-4y=2 & & end{matrix}right.$

Rút x từ phương trình trên rồi thế vào phương trình dưới , ta được:

$left{ matrix{ x - y = 3 hfill cr 3x - 4y = 2 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = 3 + y hfill cr 3left( {3 + y} right) - 4y = 2 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = 3 + y hfill cr 9 + 3y - 4y = 2 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = 3 + y hfill cr - y = 2 - 9 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = 3 + y hfill cr y = 7 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = 3 + 7 hfill cr y = 7 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = 10 hfill cr y = 7 hfill cr} right.$

Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x;y)=(10; 7).

b) $left{begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \ 4x+y=2 & & end{matrix}right.$

Rút y từ phương trình dưới rồi thế vào phương trình trên, ta có:

$left{ begin{array}{l}7x - 3y = 5\4x + y = 2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}7x - 3y = 5\y = 2 - 4xend{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = 2 - 4x\7x - 3.left( {2 - 4x} right) = 5end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = 2 - 4x\7x - 6 + 12x = 5end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = 2 - 4x\7x + 12x = 5 + 6end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = 2 - 4x\19x = 11end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = 2 - 4x\x = dfrac{{11}}{{19}}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = dfrac{{11}}{{19}}\y = 2 - 4.dfrac{{11}}{{19}}end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = dfrac{{11}}{{19}}\y = - dfrac{6}{{19}}end{array} right.$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ${left(dfrac{11}{19}; dfrac{-6}{19} right)}$

c) $left{begin{matrix} x +3y =-2 & & \ 5x-4y=11 & & end{matrix}right.$

Rút x từ phương trình trên rồi thế vào phương trình dưới, ta có:

$left{ matrix{ x + 3y = - 2 hfill cr 5x - 4y = 11 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 - 3y hfill cr 5left( { - 2 - 3y} right) - 4y = 11 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 - 3y hfill cr - 10 - 15y - 4y = 11 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 - 3y hfill cr - 15y - 4y = 11 + 10 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 - 3y hfill cr - 19y = 21 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 - 3y hfill cr y = - dfrac{ 21}{ 19} hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 - 3. dfrac{ - 21}{19} hfill cr y = - dfrac{21}{19} hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{25}{19} hfill cr y = - dfrac{21}{19} hfill cr} right.$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ${left(dfrac{25}{19}; dfrac{-21}{19} right)}$

Bài 13 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $left{begin{matrix} 3x - 2y = 11 & & \ 4x - 5y = 3& & end{matrix}right.;$

b) $left{begin{matrix} dfrac{x}{2}- dfrac{y}{3} = 1& & \ 5x - 8y = 3& & end{matrix}right.$

Xem gợi ý đáp án

a) Ta có:

$left{ matrix{ 3x - 2y = 11 hfill cr 4x - 5y = 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ 2y = 3x - 11 hfill cr 4x - 5y = 3 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ y = dfrac{3x - 11}{2} (1) hfill cr 4x - 5.dfrac{3x - 11}{ 2} = 3 (2) hfill cr} right.$

Giải phương trình (2):

$4x - 5.dfrac{3x - 11}{ 2} = 3 Leftrightarrow 4x - dfrac{15x - 55}{ 2} = 3$

$Leftrightarrow dfrac{4x.2}{2} - dfrac{15x - 55}{ 2} = dfrac{3.2}{2} Leftrightarrow dfrac{8x}{2} - dfrac{15x - 55}{2} = dfrac{6}{2}$

$Leftrightarrow dfrac{8x - 15x + 55}{2} = dfrac{6}{2} Leftrightarrow 8x - 15x + 55 = 6 Leftrightarrow - 7x = 6 - 55$

$Leftrightarrow - 7x = - 49 Leftrightarrow x=7$

Thay x=7 vào phương trình (1), ta được:

$y = dfrac{3.7 - 11}{2}=5$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (7; 5).

b) Ta có:

$left{ matrix{ dfrac{x}{2} - dfrac{y}{3} = 1 hfill cr 5x - 8y = 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ dfrac{x }{2} = 1 + dfrac{y}{3} hfill cr 5x - 8y = 3 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = 2 + dfrac{2y}{3} (1) hfill cr 5{left(2 + dfrac{2y}{3} right)} - 8y = 3 (2) hfill cr} right.$

Giải phương trình (2), ta được:

$5{left(2 + dfrac{2y}{3} right)} - 8y = 3 Leftrightarrow 5.2 + 5. dfrac{2y}{3}-8y = 3 Leftrightarrow 10 + dfrac{10y}{3} -8y =3$

$Leftrightarrow dfrac{30}{3} +dfrac{10y}{3} - dfrac{24y}{3} = dfrac{9}{3} Leftrightarrow 30+ 10y -24y=9$

$Leftrightarrow -14y=9-30 Leftrightarrow -14y=-21$

$Leftrightarrow y=dfrac{21}{14} Leftrightarrow y= dfrac{3}{2}$

Thay $y= dfrac{3}{2}$ vào (1), ta được:

$x = 2 + dfrac{2. dfrac{3}{2}}{3}=2+dfrac{3}{3}=3.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ${left(3; dfrac{3}{2} right)}.$

Bài 14 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:

a) $left{begin{matrix} x + ysqrt{5} = 0& & \ xsqrt{5} + 3y = 1 - sqrt{5}& & end{matrix}right.$

b) $left{begin{matrix} (2 - sqrt{3})x - 3y = 2 + 5sqrt{3}& & \ 4x + y = 4 -2sqrt{3}& & end{matrix}right.$

Xem gợi ý đáp án

a) Ta có:

$left{ matrix{ x + ysqrt 5 = 0 hfill cr xsqrt 5 + 3y = 1 - sqrt 5 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - ysqrt 5 hfill cr left( { - ysqrt 5 } right).sqrt 5 + 3y = 1 - sqrt 5 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - ysqrt 5 hfill cr - 5y + 3y = 1 - sqrt 5 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - ysqrt 5 hfill cr - 2y = 1 - sqrt 5 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - ysqrt 5 hfill cr y = dfrac{1 - sqrt 5 }{ - 2} hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - ysqrt 5 hfill cr y = dfrac{sqrt 5 - 1}{2} hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - dfrac{sqrt 5 - 1}{ 2}.sqrt 5 hfill cr y = dfrac{sqrt 5 - 1}{2} hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - dfrac{5 - sqrt 5 }{2} hfill cr y = dfrac{sqrt 5 - 1}{2} hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{sqrt 5 - 5}{ 2} hfill cr y = dfrac{sqrt 5 - 1}{ 2} hfill cr} right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ${left(dfrac{sqrt 5 - 5}{ 2} ; dfrac{sqrt 5 - 1}{ 2} right)}$

b) $left{begin{matrix} (2 - sqrt{3})x - 3y = 2 + 5sqrt{3}& & \ 4x + y = 4 -2sqrt{3}& & end{matrix}right.$

Ta có:

$left{ matrix{ left( {2 - sqrt 3 } right)x - 3y = 2 + 5sqrt 3 hfill cr 4x + y = 4 - 2sqrt 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ left( {2 - sqrt 3 } right)x - 3left( {4 - 2sqrt 3 - 4x} right) = 2 + 5sqrt 3 (1) hfill cr y = 4 - 2sqrt 3 - 4x (2) hfill cr} right.$

Giải phương trình (1), ta được:

$( 2 - sqrt 3 )x - 3(4 - 2sqrt 3 - 4x) = 2 + 5sqrt 3 Leftrightarrow 2x -sqrt 3 x -12 + 6 sqrt 3 + 12x=2+ 5 sqrt 3$

$Leftrightarrow 2x -sqrt 3 x + 12x=2+ 5 sqrt 3 +12 -6 sqrt 3 Leftrightarrow (2 -sqrt 3 + 12)x= 2+12 +5sqrt 3 -6 sqrt 3$

$Leftrightarrow (14- sqrt 3)x=14-sqrt 3 Leftrightarrow x=1$

Thay x=1, vào (2), ta được:

$y = 4 - 2sqrt 3 - 4.1=-2 sqrt 3.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(1; -2 sqrt 3).$

Giải bài tập toán 9 trang 15 tập 2: Luyện tập

Bài 15 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải hệ phương trình $left{begin{matrix} x + 3y = 1 & & \ (a^{2} + 1)x + 6y = 2a & & end{matrix}right.$ trong mỗi trường hợp sau:

a) a = -1

b) a = 0

c) a = 1

Xem gợi ý đáp án

a) a = -1

Thay a = -1 vào hệ, ta được:

$left{begin{matrix} x + 3y = 1 & & \ {left((-1)^2+1 right)}x+ 6y = 2.(-1) & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x + 3y = 1 & & \ 2x+ 6y = -2 & & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x + 3y = 1 & & \ x+ 3y = -1 & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x = 1 -3y & & \ (1-3y)+ 3y = -1 & & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x = 1 -3y & & \ 1 = -1 (vô lý )& & end{matrix}right.$

Vậy hệ phương trình trên vô nghiệm.

b) a = 0

Thay a = 0 vào hệ, ta được:

$left{ matrix{ x + 3y = 1 hfill cr left( {0 + 1} right)x + 6y = 2.0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x + 3y = 1 hfill cr x + 6y = 0 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x + 3y = 1 hfill cr x = - 6y hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ - 6y + 3y = 1 hfill cr x = - 6y hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ - 3y = 1 hfill cr x = - 6y hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ y = dfrac{ - 1}{3} hfill cr x = - 6y hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ y = dfrac{ - 1}{3} hfill cr x = - 6. dfrac{ - 1}{3} hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ y = dfrac{ - 1}{3} hfill cr x = 2 hfill cr} right.$

Hệ phương trình có nghiệm ${left(2; -dfrac{1}{3} right)} .$

c) a = 1

Thay a = 1 vào hệ, ta được:

$left{ matrix{ x + 3y = 1 hfill cr ({1^2} + 1)x + 6y = 2.1 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x + 3y = 1 hfill cr 2x + 6y = 2 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x + 3y = 1 hfill cr x + 3y = 1 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 1 - 3y\1 - 3y + 3y = 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 1 - 3y\1 = 1left( {luôn,đúng} right)end{array} right.$

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm $left{ begin{array}{l}x = 1 - 3y\y in mathbb{R}end{array} right.$

Bài 16 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

Khám Phá Thêm: Toán 7 Luyện tập trang 100 Giải Toán lớp 7 trang 100, 101 sách Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 2

a) $left{begin{matrix} 3x - y = 5 & & \ 5x + 2y = 23 & & end{matrix}right.$

b) $left{begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \ 2x -y =-8 & & end{matrix}right.$

$c. left{begin{matrix} dfrac{x}{y} = dfrac{2}{3}& & \ x + y - 10 = 0 & & end{matrix}right.$

Xem gợi ý đáp án

a) Ta có:

$left{ matrix{ 3x - y = 5 hfill cr 5x + 2y = 23 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ y = 3x - 5 hfill cr 5x + 2left( {3x - 5} right) = 23 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ y = 3x - 5 hfill cr 5x + 6x - 10 = 23 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ y = 3x - 5 hfill cr 11x = 23 + 10 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ y = 3x - 5 hfill cr 11x = 33 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ y = 3x - 5 hfill cr x = 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ y = 3.3 - 5 hfill cr x = 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ y = 4 hfill cr x = 3 hfill cr} right.$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x; y) = (3; 4).

b) Ta có:

$left{ matrix{ 3x + 5y = 1 hfill cr 2x - y = - 8 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ 3x + 5y = 1 hfill cr y = 2x + 8 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ 3x + 5left( {2x + 8} right) = 1 hfill cr y = 2x + 8 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ 3x + 10x + 40 = 1 hfill cr y = 2x + 8 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ 13x = 1 - 40 hfill cr y = 2x + 8 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ 13x = - 39 hfill cr y = 2x + 8 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 3 hfill cr y = 2x + 8 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 3 hfill cr y = 2.left( { - 3} right) + 8 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 3 hfill cr y = 2 hfill cr} right.$

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (-3; 2).

c) Ta có:

$left{ matrix{ dfrac{x}{y} = dfrac{2}{3} hfill cr x + y - 10 = 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{2y}{3} hfill cr dfrac{2y}{3} + y = 10 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{2y}{3} hfill cr {left( dfrac{2}{3} + 1 right)}y = 10 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{2y}{3} hfill cr dfrac{5}{ 3}y = 10 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{2y}{3} hfill cr y = 6 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{2.6}{3} hfill cr y = 6 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = 4 hfill cr y = 6 hfill cr} right.$

Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (4; 6).

Bài 17 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2)

$a) left{begin{matrix} xsqrt{2}- y sqrt{3}=1 & & \ x + ysqrt{3} = sqrt{2}& & end{matrix}right.$

$b) left{begin{matrix} x - 2sqrt{2} y = sqrt{5}& & \ xsqrt{2} + y = 1 - sqrt{10}& & end{matrix}right.$

$c. left{begin{matrix} (sqrt{2}- 1)x - y = sqrt{2}& & \ x + (sqrt{2}+ 1)y = 1& & end{matrix}right.$

Xem gợi ý đáp án

a) Ta có:

$left{ matrix{ xsqrt 2 - ysqrt 3 = 1 hfill cr x + ysqrt 3 = sqrt 2 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ xsqrt 2 - ysqrt 3 = 1 hfill cr x = sqrt 2 - ysqrt 3 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ left( {sqrt 2-ysqrt 3 } right)sqrt 2 - ysqrt 3 = 1 (1) hfill cr x = sqrt 2 - ysqrt 3 (2) hfill cr} right.$

Giải phương trình (1), ta được:

$( sqrt 2 - ysqrt 3)sqrt 2 - ysqrt 3 = 1 Leftrightarrow (sqrt 2)^2 - ysqrt 3 . sqrt 2 - ysqrt 3 = 1$

$Leftrightarrow 2 - ysqrt 3 . sqrt 2 - ysqrt 3 = 1 Leftrightarrow -ysqrt 3. sqrt 2 - ysqrt 3 = 1 - 2$

$begin{array}{l} Leftrightarrow - ysqrt 6 - ysqrt 3 = - 1\ Leftrightarrow yleft( {sqrt 6 + sqrt 3 } right) = 1\ Leftrightarrow y = dfrac{1}{{sqrt 6 + sqrt 3 }}\ Leftrightarrow y = dfrac{{sqrt 6 - sqrt 3 }}{3}\ Leftrightarrow y = dfrac{{sqrt 3 left( {sqrt 2 - 1} right)}}{3} end{array}$

Thay y tìm được vào phương trình (2), ta được:

$x = sqrt 2 - dfrac{sqrt 3 (sqrt 2 -1)}{3}.sqrt 3$

$Leftrightarrow x=sqrt 2 - dfrac{sqrt 3 .sqrt 3(sqrt 2 -1)}{3} Leftrightarrow x=sqrt 2 - dfrac{ 3(sqrt 2 -1)}{3} =sqrt 2 - (sqrt 2 -1)$

$Leftrightarrow x=sqrt 2 -sqrt 2 +1=1$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: ${left( 1;dfrac{sqrt 3 (sqrt 2 -1)}{3} right)}$

b) Ta có:

$left{ matrix{ x - 2sqrt 2 y = sqrt 5 hfill cr xsqrt 2 + y = 1 - sqrt {10} hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = 2sqrt 2 y + sqrt 5 (1) hfill cr left( {2sqrt 2 y + sqrt 5 } right).sqrt 2 + y = 1 - sqrt {10} (2) hfill cr} right.$

Giải phương trình (2), ta được:

$left( {2sqrt 2 y + sqrt 5 } right).sqrt 2 + y = 1 - sqrt {10} Leftrightarrow 2(sqrt 2 .sqrt 2)y + sqrt 5 .sqrt 2 + y = 1 - sqrt {10}$

$Leftrightarrow 4y + sqrt{10}+y=1- sqrt{10} Leftrightarrow 4y +y=1- sqrt{10}- sqrt{10}$

$Leftrightarrow 5y=1-2 sqrt{10} Leftrightarrow y=dfrac{1-2 sqrt{10}}{5}$

Thay $y=dfrac{1-2 sqrt{10}}{5}$ vào (1), ta được:

$x = 2sqrt 2 .dfrac{1-2 sqrt{10}}{5} + sqrt 5= dfrac{2sqrt 2 -4 sqrt{20}}{5} + sqrt 5$

$Leftrightarrow x=dfrac{2sqrt 2 -4 .2sqrt{5}}{5} + sqrt 5=dfrac{2sqrt 2 -8sqrt{5}+ 5sqrt 5}{5}$

$Leftrightarrow x=dfrac{2 sqrt 2 -3 sqrt 5}{5}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: $(x; y) = {left(dfrac{2sqrt{2} - 3sqrt{5}}{5};dfrac{1 - 2sqrt{10}}{5}right)}$

c) Ta có:

$left{ matrix{ left( {sqrt 2 - 1} right)x - y = sqrt 2 hfill cr x + left( {sqrt 2 + 1} right)y = 1 hfill cr} right.$

$left{ begin{array}{l}y = left( {sqrt 2 - 1} right)x - sqrt 2 ,,,,,left( 1 right)\x + left( {sqrt 2 + 1} right)left[ {left( {sqrt 2 - 1} right)x - sqrt 2 } right] = 1,,,left( 2 right)end{array} right.$

Giải phương trình (2), ta được:

$x + left( {sqrt 2 + 1} right)left[ { left( {sqrt 2 - 1} right)x} -sqrt 2 right] = 1$

$Leftrightarrow x + (sqrt 2 + 1) (sqrt 2 - 1)x -( sqrt 2 + 1). sqrt 2 = 1$

$Leftrightarrow x + {left((sqrt 2)^2 - 1^2 right)}x-( 2 + sqrt 2) = 1$

$Leftrightarrow x + x = 1+( 2 + sqrt 2) Leftrightarrow 2x =3 +sqrt 2 Leftrightarrow x=dfrac{3+ sqrt 2}{2}$

Thay $x=dfrac{3+ sqrt 2}{2}$ vào (1), ta được:

$y = left( {sqrt 2 - 1} right).dfrac{3+ sqrt 2}{2} - sqrt 2$

$Leftrightarrow y= dfrac{(sqrt 2 - 1 )(3+ sqrt 2)}{2} - sqrt 2 Leftrightarrow y= dfrac{3sqrt 2 -3 +2 -sqrt 2}{2} - sqrt 2$

$Leftrightarrow y= dfrac{2sqrt 2 -1}{2} - sqrt 2 Leftrightarrow y= dfrac{2sqrt 2 -1-2sqrt 2}{2} Leftrightarrow y= dfrac{-1}{2}$

Vậy hệ có nghiệm $(x; y) = {left(dfrac{3 + sqrt{2}}{2};dfrac{-1}{2} right)}$

Bài 18 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2)

a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình

$left{begin{matrix} 2x + by=-4 & & \ bx - ay=-5& & end{matrix}right.$

có nghiệm là (1; -2)

b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là $(sqrt{2} - 1; sqrt{2}).$

Xem gợi ý đáp án

a) Hệ phương trình có nghiệm là (1; -2) khi và chỉ khi (1; -2) thỏa mãn hệ phương trình. Thay x=1, y=-2 vào hệ, ta có:

$left{begin{matrix} 2 - 2b=-4 & & \ b+2a=-5 & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} 2b=6 & & \ b+2a=-5 & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} b=3 & & \ b+2a=-5 & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} b=3 & & \ 3+2a=-5 & & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} b=3 & & \ 2a = -5 - 3& & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} b=3 & & \ 2a = -8& & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} b=3 & & \ a = -4 & & end{matrix}right.$

Vậy a=-4, b=3 thì hệ có nghiệm là (1; -2).

b) Thay $x=sqrt 2 - 1; y= sqrt 2$ vào hệ phương trình đã cho, ta có:

$left{begin{matrix} 2(sqrt{2}-1)+bsqrt{2}= -4 & & \ (sqrt{2}-1)b - asqrt{2}= -5& & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} 2sqrt{2}-2+bsqrt{2}= -4 & & \ (sqrt{2}-1)b - asqrt{2}= -5& & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} 2sqrt{2}-2+bsqrt{2}= -4 & & \ (sqrt{2}-1)b - asqrt{2}= -5& & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} bsqrt{2}= -2 - 2sqrt{2} & & \ (sqrt{2}-1)b - asqrt{2}= -5& & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} b= -(2 + sqrt{2}) & & \ asqrt{2}= -(2 + sqrt{2})(sqrt{2}-1)+5& & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} b= -(2 + sqrt{2}) & & \ asqrt{2}= -sqrt{2}+5& & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} a = dfrac{-2+5sqrt{2}}{2} & & \ b = -(2+ sqrt{2})& & end{matrix}right.$

Vậy $a = dfrac{-2+5sqrt{2}}{2}, b=-(2+ sqrt{2})$ thì hệ trên có nghiệm là $(sqrt 2 -1; sqrt 2).$

Bài 19 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2)

Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – a khi và chỉ khi P(a) = 0.

Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x – 3:

$P(x) = m{x^3} + (m - 2){x^2} - (3n - 5)x - 4n$

Xem gợi ý đáp án

+) Ta có: P(x) chia hết cho $x + 1 Leftrightarrow P(-1)=0$

$Leftrightarrow m.(-1)^3 + (m - 2).(-1)^2 - (3n - 5).(-1) - 4n=0$

$Leftrightarrow -m + m - 2 + 3n - 5 - 4n = 0 Leftrightarrow -n-7=0 Leftrightarrow n+7=0 (1)$

+) Lại có: P(x) chia hết cho $x - 3 Leftrightarrow P(3)=0$

$Leftrightarrow m.3^3 + (m - 2).3^2 - (3n - 5).3 - 4n=0$

$Leftrightarrow 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0$

$Leftrightarrow 27m + 9m - 18 - 9n + 15 - 4n = 0$

$Leftrightarrow 36m-13n=3 (2)$

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.

$left{begin{matrix} n+7 = 0 & & \ 36m - 13n = 3 & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} n = -7 & & \ 36m -13.(-7)= 3 & & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} n = -7 & & \ 36m = -88 & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} n = -7& & \ m = dfrac{-22}{9}& & end{matrix}right.$

Vậy $m=dfrac{-22}{9}, n=-7.$

Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức có dạng: ax + by = c, trong đó a, b, c là các số đã biết (trong đó a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 ).

* Trong phương trình ax + by = c, nếu giá trị của vế trái tại x = x0 và y =y0 bằng vế phải thì cặp số (x0; y0) được gọi là một nghiệm của phương trình.

Khám Phá Thêm: Tiếng Anh 8 Unit 1: Looking Back Soạn Anh 8 Kết nối tri thức trang 16

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x0; y0) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x0; y0).

Ví dụ: Các phương trình bậc nhất hai ẩn là 2x + y = 1; x – y = 2; ….

2. Quy tắc thế

Qui tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.

Quy tắc thế gồm hai bước sau:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Dùng phương trình mới để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (và giữ nguyên phương trình thứ nhất) ta được hệ mới tương đương với hệ phương trình đã cho.

3. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Căn cứ vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, ta làm như sau:

Bước 1. Rút x hoặc y từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

3. Chú ý

+ Nếu thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của hai ẩn đểu bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Giải Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Giải SGK Toán 9 Tập 2 (trang 15, 16) tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Từ Khoá Liên Quan:

Trả lời câu hỏi Toán 9 Bài 3

Câu hỏi 1

Câu hỏi 2

Giải Toán 9 trang 15 tập 2

Bài 12 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2)

Bài 13 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2)

Bài 14 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải bài tập toán 9 trang 15 tập 2: Luyện tập

Bài 15 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2)

Bài 16 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2)

Bài 17 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2)

Bài 18 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2)

Bài 19 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2)

Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

2. Quy tắc thế

3. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài Viết Liên Quan