Giải Toán 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Giải SGK Toán 9 Tập 2 (trang 11, 12)

a) Ta có:

Ta có a = -2, a’ = 3 nên a ≠ a’.

Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau nên hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

b) Ta có:

Ta có và nên a = a’, b ≠ b’.

Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) song song nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Ta có:

Ta có nên a ≠ a’

Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau nên hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

d) Ta có:

Ta có a = 3, b = -3 và a’ = 3, b’ = -3 nên a = a’, b = b’.

Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

a) Ta có:

+) Vẽ (d): y=2x-1

Cho x = 0 ⇒ y = -1, ta được A(0; -1).

Cho , ta được .

Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua hai điểm A, B.

+) Vẽ (d’):

Cho x = 0 , ta được

Cho y = 0 ⇒ x = -1, ta được D = (-1; 0).

Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua hai điểm C, D.

+) Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ M( 1, 1).

Thay x = 1, y = 1 vào các phương trình của hệ ta được:

(luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (1; 1).

b) Ta có:

+) Vẽ (d): y=-2x+4

Cho x = 0 ⇒ y = 4, ta được A(0; 4).

Cho y = 0 ⇒ x = 2, ta được B(2; 0).

Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua hai điểm A, B.

Vẽ (d’): y=x+1

Cho x = 0 ⇒ y = 1, ta được C(0; 1).

Cho y = 0 ⇒ x = -1, ta được D(-1; 0).

Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua hai điểm C, D.

Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ N(1;2).

Thay x = 1, y = 2 vào các phương trình của hệ ta được:

(luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (1; 2).

Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng (rỗng).

Bạn Phương nhân xét sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình:

Hệ (I) và hệ (II) đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ (I) được biểu diễn bởi đường thẳng y = x, còn tập nghiệm của phương trình (II) được biểu diễn bởi đường thẳng y = -x. Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét không tương đương (vì không có cùng tập nghiệm).

a) Ta có:

+)

Do đó phương trình có nghiệm dạng tổng quát là:

+)

Do đó phương trình có nghiệm tổng quát như sau:

b) +) Vẽ (d): y =-2x+ 4

Cho x = 0 ⇒ y = 4 được A(0; 4).

Cho y = 0 ⇒ x = 2 được B(2; 0).

Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua hai điểm A, B.

+) Vẽ (d’):

Cho x = 0 ta được

Cho y = 0 , ta được

Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua hai điểm M, N.

Hai đường thẳng cắt nhau tại D(3; -2).

Thay x = 3, y = -2 vào từng phương trình ta được:

2 . 3 + (-2) = 4 và 3 . 3 + 2 . (-2) = 5 (thỏa mãn)

Vậy (3; -2) là nghiệm chung của các phương trình đã cho.

a) Ta có

Dự đoán: Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng (d):x = 2 song song với trục tung, còn một đồ thị là đường thẳng (d’):y = 2x – 3 cắt hai trục tọa độ.

+) Vẽ (d): x = 2 là đường thẳng đi qua điểm có tọa độ (2;0) và song song với trục Oy.

+) Vẽ (d’ ): y =2x- 3

Cho x = 0 ⇒ y = -3 ta được A(0; -3).

Cho y = 0 ta được

Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua hai điểm A, B.

Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại N(2; 1).

Thay x = 2, y = 1 vào hệ phương trình

ta được

(luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1).

b)

Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng (d): cắt hai trục tọa độ, còn một đồ thị là đường thẳng (d’):y = 2 song song với trục hoành.

+) Vẽ

Cho x = 0 ta được

Cho y = 0 ⇒ x = 2 ta được B(2; 0).

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A, B.

+) Vẽ y = 2 là đường thẳng đi qua điểm có tọa độ (0;2) trên trục tung và song song với trục hoành (Ox)

Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại M(-4; 2).

Thay x = -4, y = 2 vào hệ phương trình

ta được

(luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-4; 2).

a) Ta có:

Suy ra a = -1, a’ = -1; b = 2,  nên a = a’, b ≠ b’.

Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) song song nhau nên hệ đã cho vô nghiệm.

b) Ta có:

Ta có:  nên a = a’, b ≠b’.

Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau nên hệ đã cho vô nghiệm.

a. Ta có:

Suy ra

Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

b)Ta có:

Suy ra

Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Nếu một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm phân biệt

⇒ Hệ đó có vô số nghiệm.

Vì hệ có hai nghiệm phân biệt nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình của hệ có hai điểm chung phân biệt, suy ra chúng trùng nhau.