Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập Ôn tập Toán 12

Bạn đang xem bài viết Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập Ôn tập Toán 12 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Trong môn Toán 12, chúng ta sẽ tiếp cận với nhiều khái niệm và phương pháp tính toán mới, trong đó có cả Tích phân – một khái niệm quan trọng và cơ bản trong ngành toán học.

Công thức Tích phân là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta tính được diện tích, thể tích và tổng quát hóa cho nhiều vấn đề khác nhau trong đời sống và các lĩnh vực kỹ thuật. Được hình thành từ lý thuyết suy diễn và phép toán, Tích phân cung cấp cho chúng ta một phương pháp xác định sự biến đổi của một hàm số liên tục trên một khoảng xác định. Nhờ vào công thức Tích phân, chúng ta có thể tính được tổng diện tích trong một phạm vi, diện tích giữa đồ thị và trục hoành, thể tích của một vật thể hay dạng tập hợp bất kỳ.

Tuy nhiên, để thành thạo trong việc áp dụng công thức Tích phân vào các bài toán thực tế, chúng ta cần phải hiểu sâu về lý thuyết Tích phân và rèn luyện kỹ năng giải các bài tập ôn tập. Việc này không chỉ giúp chúng ta vững vàng trong lĩnh vực Toán học mà còn cung cấp nền tảng cho việc nghiên cứu và ứng dụng trong các ngành khoa học khác như Vật lý, Kinh tế, Xã hội học và Cơ điện tử.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về công thức Tích phân, từ lý thuyết cơ bản cho đến những bài tập ôn tập giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng tính toán và ứng dụng. Bằng việc nắm vững những kiến thức này, chúng ta sẽ có thể tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán phức tạp và áp dụng vào thực tế. Hãy cùng bắt đầu hành trình khám phá về công thức Tích phân và trau dồi kiến thức Toán học của chúng ta!

Công thức Tích phân là những công thức quan trọng giúp các em lớp 12 ghi nhớ để vận dụng tính toán nhanh nhất các bài toán liên quan đến tích phân và cho ra kết quả chính xác.

Trong kì thi THPT Quốc gia môn Toán thì số lượng công thức cần ghi nhớ là không hề nhỏ. Đối với các bài thi trắc nghiệm, điều cần thiết là các em học sinh cần nắm kiến thức rộng và có phương pháp giải nhanh hiệu quả để có thể ghi điểm nhiều nhất. Dưới đây tổng hợp toàn bộ kiến thức về dấu tích phân, bảng tích phân, ứng dụng kèm theo một số dạng bài tập. Hi vọng tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục 9⁺ môn Toán. Bên cạnh cách tính tích phân các bạn xem thêm bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

Khám Phá Thêm: Tiếng Anh 10 Unit 4: Từ vựng Từ vựng International Organizations and Charities

Mục Lục Bài Viết

I. Lý thuyết Tích phân

1. Tích phân là gì?

Là phép lấy tích phân là cách ta muốn biểu diễn quy trình ngược lại của phép lấy đạo hàm.

Ví dụ: Nếu ta biết rằng: $Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập Ôn tập Toán 12$ và ta muốn biết hàm số nào đã đạo hàm ra được hàm số này?

Ta có $𝑦 = 𝑥^3$ là một nguyên hàm của $Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập Ôn tập Toán 12$ . Ngoài ra ta còn vô số nguyên hàm khác, chẳng hạn như: $𝑦 = 𝑥 ^3 + 4 \𝑦 = 𝑥^ 3 + 𝜋\ 𝑦 = 𝑥^ 3 + 27.3$ Tổng quát, ta nói $𝑦 = 𝑥 ^3 + 𝐾$ là tích phân bất định (hay nguyên hàm) của $3𝑥 ^2$ . Con số 𝐾 được gọi là hằng số tích phân.

2. Dấu tích phân

Ký hiệu ∫ hình thành bởi sự kéo dài ký tự “𝑆” viết tắt của chữ “sum” (tổng) (Người Đức, Anh thời xưa viết chữ “𝑆” giống với ký hiệu tích phân bây giờ). ∑ là ký hiệu của “tổng”. Nó được dùng cho tổng hữu hạn hay vô hạn. ∫ là ký hiệu của tổng hữu hạn các diện tích vô cùng nhỏ (hoặc các biến vô cùng nhỏ khác). Ký hiệu chữ “𝑆” dài này được Lebniz giới thiệu khi ông phát triển một số khái niệm của tích phân.

3. Tích phân hằng số

$∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐾$ (𝑘 và 𝐾 là các hằng số).

4. Tích phân lũy thừa của 𝒙

$∫ 𝑥^ 𝑛 𝑑𝑥 = dfrac{𝑥^{𝑛+1} }{𝑛 + 1} + 𝐾$

Công thức này đúng khi 𝑛 ≠ −1. Khi tích phân lũy thừa của 𝑥, ta thêm 1 vào lũy thừa và chia biến lũy thừa mới cho giá trị lũy thừa mới.

II. Bảng tích phân

1. Tích phân cơ bản

$int0du=C,int dx=x+C$

$int u^adu=dfrac{u^{a+1}}{a+1}+C với aneq-1, ain R$

$int dfrac{du}{u}=ln|u|+C$

$int e^udu=e^u+C$

$int cos u du= sin u +C$

$int sin u du= -cos u +C$

$int dfrac{1}{cos^2u}du= tan u+C$

$int dfrac{1}{sin^2u}du= -cot u+C$

$int dfrac{1}{sqrt{1-u^2}}du= left{ begin{array}{cc} arcsinu +C\ -arccosu+C end{array} right.$

$int dfrac{1}{sqrt{1+u^2}}du= left{ begin{array}{cc} arctanu +C\ -arccotu+C end{array} right.$

2. Tích phân từng phần

Công thức tính tích phân từng phần:

Theo qui tắc lấy đạo hàm một tích:

$d (uv)= udv+ vdu$

Lấy tích phân cả hai vế ta được:

$uv =int udv +int vdu$

Từ đây ta có công thức sau:

$int udv =uv -int vdu$

3. Tích phân lượng giác

Giả sử ta cần tính tích phân

$I= int R(sin ,cos )dx$

trong đó R là hàm hữu tỉ của hai đối số. Ta có thể hữu tỉ hoá tích phân trên bằng cách đặt $t = tan dfrac{x}{2}$ .

Thật vậy: $sinx = dfrac{2t}{1+t^2},cosx= dfrac{1-t^2}{1+t^2},x= 2 arctan t, dx=dfrac{2dt}{1+t^2}$

Do đó, có thể đưa ra tích phân I về dạng:

$I= int R (dfrac{2t}{1+t^2},dfrac{1-t^2}{1+t^2}).dfrac{2dt}{1+t^2}$

4. Tích phân xác định

Cách tính tích phân xác định:

Khám Phá Thêm: Nhật ký tự bồi dưỡng sách giáo khoa lớp 5 Chân trời sáng tạo Nội dung tự bồi dưỡng SGK lớp 5 năm 2024 - 2025

$∫^b_a 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|^b_a = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)$

𝐹(𝑥) là nguyên hàm của 𝑓(𝑥).
𝐹(𝑏) là giá trị nguyên hàm ứng với cận trên 𝑥 = 𝑏.
𝐹(𝑎) là giá trị nguyên hàm ứng với cận dưới 𝑥 = 𝑎.

Biểu thức này gọi là tích phân xác định.

5. Tích phân không xác định

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm f trên một khoảng I nào đó được gọi là tích phân không xác định của hàm này trên khoảng I và được kí hiệu là f (x) dx: $∫ f (x) dx = Fx + C.$

$∫Af (x) dx= A ∫ f (x) dx$ trong đó A là hằng số
$int (f_1(x)pm f_2(x)=int f_1(x)dxpm f_2(x)dx$

6. Tích phân hàm số hữu tỉ

Các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất là các phân thức có dạng

$I) dfrac{A}{x-a}, II) dfrac{A}{(x-a)^k}, III) dfrac{Mx+N}{x^2+px+q}, IV) dfrac{Mx+N}{(x^2+px+q)^2}$

trong đó A,M,N,p,q là các số thực, k = 2,3,4…, còn tam thức bậc hai không có nghiệm thực, tức là $p^ 2 – 4q < 0$ . Bây giờ ta hãy khảo sát tích phân các phân thức hữu tỉ trên:

a) Dạng I:

$int dfrac{A}{x-a}dx= Aln|x-a|+C$

b) Dạng II:

$intdfrac{A}{(x-a)^k}dx= -dfrac{A}{k-1}.dfrac{1}{(x-a)^{k-1}}+C(kneq 1)$

c) Dạng III:

$intdfrac{Mx+N}{x^2+px+q}dx= int dfrac{dfrac{M}{2}(2x+p)+(N-dfrac{Mp}{2})}{x^2+px+q}dx$

$= dfrac{M}{2}int dfrac{2x+p}{x^2+px+q}+(n-dfrac{Mp}{2})int dfrac{dx}{x^2+px+q}$

Ta xét tích phân thứ hai ở vế phải. Đặt $x+dfrac{p}{2}=t,q-dfrac{p^2}{4}=a^2,dx=dt$

Ta có: $int dfrac{dx}{x^2+px+q}= int dfrac{dx}{(x+dfrac{p}{2})^2}+q-dfrac{p^2}{4}$

$= dfrac{1}{a}arctan dfrac{t}{a}+C=dfrac{2}{sqrt{4q-p^2}}arctan dfrac{2x+p}{sqrt{4q-p^2}}+C$

d) Dạng IV:

$intdfrac{Mx+N}{(x^2+px+q)^2}dx= int dfrac{dfrac{M}{2}(2x+p)+(N-dfrac{Mp}{2})}{(x^2+px+q)^2}dx$

III. Ứng dụng tích phân

1. Ứng dụng Công

Trong vật lý, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển, ví dụ như lái xe đạp.

Nếu có một lực biến thiên, thay đổi, ta dùng tích phân để tính công sinh ra bởi lực này. Ta dùng: $𝑊 = ∫^b_a 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥$ với F(x) là lực.

2. Ứng dụng giá trị trung bình

Giá trị trung bình của hàm 𝑓(𝑥) trong miền 𝑥 = 𝑎 đến 𝑥 = 𝑏 được xác định bởi: Trung bình = $dfrac{∫^b_a 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥}{b-a}.$

3. Ứng dụng quãng đường

Nếu ta biết biểu thức vận tốc 𝑣 theo thời gian 𝑡, ta có thể biết quãng đường 𝑠 của một vật thể khi đi từ thời gian 𝑡 = 𝑎 đến 𝑡 = 𝑏 bằng tích phân như sau:

$𝑠 = ∫^b_a 𝑣 𝑑𝑡$

Chú ý: Bạn có thể thấy từ những ứng dụng của tích phân trong công, tính giá trị trung bình, tính quãng đường, tích phân xác định không chỉ đơn thuần dùng để tích diện tích dưới đường cong.

IV. Bài tập tích phân

Câu 1: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] và $c in[a ; b].$ Tìm mệnh đề đúng

trong các mệnh đề sau.

$A. int_{a}^{c} f(x) mathrm{d} x+int_{c}^{b} f(x) mathrm{d} x=int_{b}^{a} f(x) mathrm{d} x.$

$B. int_{a}^{b} f(x) mathrm{d} x+int_{a}^{c} f(x) mathrm{d} x=int_{c}^{b} f(x) mathrm{d} x.$

$C. int_{a}^{b} f(x) mathrm{d} x-int_{a}^{c} f(x) mathrm{d} x=int_{c}^{c} f(x) mathrm{d} x.$

$D. int_{a}^{b} f(x) mathrm{d} x+int_{c}^{a} f(x) mathrm{d} x=int_{c}^{b} f(x) mathrm{d} x.$

Câu 2: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoàng K và a, b, c in K. Mệnh đề nào sau đây sai?

$A. int_{a}^{b} f(x) mathrm{d} x+int_{c}^{b} f(x) mathrm{d} x=int_{a}^{c} f(x) mathrm{d} x.$

$B. int_{a}^{b} f(x) mathrm{d} x=int_{a}^{b} f(t) mathrm{dt}.$

$C. int_{a}^{b} f(x) mathrm{d} x=-int_{b}^{a} f(x) mathrm{d} x.$

$D. int_{a}^{a} f(x) mathrm{d} x=0.$

Câu 3: Cho hàm số f(t) liên tục trên K và a, $b in K$ , F(t) là một nguyên hàm của f(t) trên K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

$A. F(a)-F(b)=int_{a}^{b} f(t) mathrm{d} t.$

$B. int_{a}^{b} f(t) mathrm{d} t=left.F(t)right|_{a} ^{b}.$

$C. int_{a}^{b} f(t) mathrm{d} t=left.left(int f(t) mathrm{d} tright)right|_{a} ^{b}$

$D. int_{a}^{b} f(x) mathrm{d} x=int_{a}^{b} f(t) mathrm{d} t.$

Câu 4: Cho hai tích phân $int_{-a}^{a} f(x) d x=m$ và $int_{-a}^{a} g(x) d x=n$ . Giá trị của tích phân $int_{-a}^{a}[f(x)-g(x)] d x$ là:

A. m-n.

B. n-m.

C. m+n.

D. Không thể xác định.

Câu 5: Cho tích phân $I_{1}=int_{a}^{b} f(x) d x=m$ và $I_{2}=int_{c}^{a} f(x) d x=n$ . Tích phân $I=int_{c}^{b} f(x) d x$ có giá trị là:

A. m+n.

B. m-n

C. -m-n.

D. Không thể xác định.

Câu 6: Tích phân $int_{a}^{b} f(x) d x$ được phân tích thành:

$A. int_{c}^{b} f(x)+int_{c}^{a}-f(x) d x.$

$B. int_{c}^{b} f(x)-int_{c}^{a}-f(x) d x.$

$C. int_{c}^{b} f(x)+int_{c}^{a} f(x) d x.$

$D. -int_{c}^{b} f(x)+int_{c}^{a} f(x) d x.$

Câu 7: Cho $int_{-2}^{1} f(x) mathrm{d} x=3$ . Tính tích phân $I=int_{-2}^{1}[2 f(x)-1] mathrm{d} x.$

A. -9.

B. -3.

C. 3 .

D. 5 .

Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về công thức tích phân, một khái niệm quan trọng và phổ biến trong toán học, đặc biệt là trong môn Toán lớp 12. Chúng ta đã được giới thiệu về lý thuyết của tích phân và làm quen với các công thức cơ bản.

Khám Phá Thêm: Tiếng Anh 7 Review 3: Language Soạn Anh 7 trang 102 sách Kết nối tri thức với cuộc sống

Đầu tiên, chúng ta đã tìm hiểu về khái niệm tích phân và ứng dụng của nó trong thực tế. Tích phân là quá trình tính ra diện tích dưới đồ thị của một hàm số giữa hai giới hạn xác định. Chúng ta đã thảo luận về công thức tích phân Rieman và các phương pháp tính tích phân, bao gồm phép tích phân xác định và không xác định.

Sau đó, chúng ta đã xem xét các công thức cơ bản của tích phân, bao gồm tích phân của hàm số bậc một, hàm số bậc hai và hàm số mũ. Chúng ta đã thảo luận về cách tính công thức tích phân của các hàm số này, cùng với ví dụ minh họa.

Cuối cùng, chúng ta đã ôn lại phần lý thuyết qua một số bài tập. Bài tập giúp chúng ta nắm vững kiến thức và ứng dụng của công thức tích phân vào các ví dụ cụ thể. Chúng ta đã làm quen với cách tính tích phân, tính diện tích dưới đồ thị và cách sử dụng các công thức tích phân kinh điển.

Tổng hợp lại, việc nắm vững công thức tích phân là vô cùng quan trọng trong môn học Toán lớp 12 và cả trong những lĩnh vực khác của cuộc sống. Việc hiểu và áp dụng công thức tích phân giúp chúng ta giải quyết các bài toán thực tế và phân tích các hiện tượng phức tạp. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu thêm về công thức tích phân và sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức này khi ôn tập để đạt được thành công trong môn Toán 12.

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập Ôn tập Toán 12 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Từ Khoá Liên Quan:

1. Công thức tích phân
2. Phương pháp tích phân
3. Đạo hàm và tích phân
4. Công thức tích phân không định
5. Công thức tích phân định
6. Cộng tích phân
7. Tích tích phân
8. Định lý về tích phân
9. Bài tập tích phân căn bản
10. Tính diện tích dưới đường cong
11. Tính thể tích bằng phương pháp tích phân
12. Tích phân theo 1 biến
13. Tích phân theo 2 biến
14. Biểu đồ tích phân
15. Ứng dụng của công thức tích phân