Bất đẳng thức Cosi Bất đẳng thức Cosi lớp 9

Bạn đang xem bài viết Bất đẳng thức Cosi Bất đẳng thức Cosi lớp 9 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Trong toán học, bất đẳng thức là một công cụ quan trọng để so sánh và đánh giá các giá trị số. Trong lớp 9, chúng ta được tiếp cận với một bất đẳng thức đặc biệt, gọi là bất đẳng thức Cosi. Bất đẳng thức này dựa trên hàm lượng giác Cosin và có thể áp dụng trong nhiều bài toán khác nhau. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về bất đẳng thức Cosi và các tính chất cơ bản của nó.

Bất đẳng thức Cosi là một khái niệm toán học thường được sử dụng trong các bài toán ở bậc trung học phổ thông.

Bất đẳng thức Cosi dùng để chỉ bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Trong đó, trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau. Vậy cách chứng minh bất đẳng thức Cosi như thế nào? Quy tắc chứng minh là gì? Mời các bạn hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây của thcshuynhphuoc-np.edu.vn nhé.

Mục Lục Bài Viết

I. Bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức cosi xuất phát từ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM – GM). Cauchy là người đã có công chứng minh bất đẳng thức AM – GM bẳng phương pháp quy nạp. Do đó, bất đẳng thức AM – GM được phát biểu theo cách khác để trở thành bất đẳng thức cosi.

1. Bất đẳng thức AM – GM

Cho x₁, x₂,…, x_n là n số thực không âm, khi đó ta có:

$frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n} ge sqrt [n] {x_1x_2…x_n}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ =… = x_n

Bất đẳng thức này còn có thể được phát biểu dưới dạng

${x_1+ x_2 + …, + x_n} ge n sqrt [n] {x_1x_2…x_n}$

Hoặc

$(frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n})^n ge {x_1x_2…x_n}$

2. Bất đẳng thức Cosi

Giả sử a₁,a₂,…, a_n là các số thực bất kì và b₁, b₂,…, b_n là các số thực dương. Khi đó, ta luôn có:

$frac{a_1^2}{b_1^2} + frac{a_2^2}{b_2^2} + … + frac{a_n^2}{b_n^2} ge frac{(a_1 + a_2 + … + a_n)^2}{b_1 + b_2 + … + b_n}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $frac{a_1^2}{b_1^2} = frac{a_2^2}{b_2^2} = … = frac{a_n^2}{b_n^2}$

3. Bất đẳng thức cosi cho 2 số không âm

$frac{a + b} {2} ge sqrt {ab}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

4. Bất đẳng thức cosi cho 3 số không âm

$frac{a + b + c } {3} ge sqrt [3] {abc}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

5. Bất đẳng thức cosi cho 4 số không âm

$frac{a + b + c + d } {4} ge sqrt [4] {abcd}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

6. Bất đẳng thức cosi cho n số không âm

Với x₁, x₂,…, x_n là n số thực không âm, khi đó ta có:

Khám Phá Thêm: KHTN Lớp 7 Bài 32: Cảm ứng ở sinh vật Giải sách Khoa học tự nhiên lớp 7 Chân trời sáng tạo trang 145

$frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n} ge sqrt [n] {x_1x_2…x_n}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ =… = x_n

II. Chứng minh bất đẳng thức cosi

1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi đúng với 2 thực số không âm

Với a = 0 và b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng (1). Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức luôn đúng với 2 số a, b dương.

$frac{a + b} {2} ge sqrt {ab}$

$Leftrightarrow a + b ge 2sqrt {ab}$

$Leftrightarrow a – 2sqrt {ab} + b ge 0$

$(sqrt {a} – sqrt {b})^2 ge 0$ (luôn đúng với mọi a, b ≥ 0)

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi a, b dương (2)

Từ (1) và (2) => bất đẳng thức cosi đúng với 2 số thực a, b không âm.

2. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 thực số không âm

Rõ ràng a = 0, b = 0, c = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Do đó, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng với 3 số thực a, b, c dương.

Đặt $x = sqrt [3] {a}, y = sqrt [3] {b}, z = sqrt [3] {c}$

=> x, y, z ≥ 0 => => x + y + z ≥ 0

Bất đẳng thức của 3 số thực a, b, c dương được quy về thành bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương.

$(x + y)^3 – 3xy(x + y) + z^3 – 3xyz ge 0$

$(x + y +z)[(x + y)^2 – (x +y)z + z^2]$

$– 3xy(x + y + z) ge 0$

$(x + y +z)(x^2 + y^2 + z^2 +2xy – xz – yz)$

$– 3xy(x + y + z) ge 0$

$(x + y +z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – xz – yz) ge 0$

$(x + y +z)[(x – y)^2 + (y – z)^2 + (x – z)^2] ge 0$ (luôn đúng với mọi x, y, z ≥ 0)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z hay a = b = c.

3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực không âm

Dễ dàng nhận ra rằng với a = 0, b = 0, c = 0, d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Bây giờ chúng ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng với 4 số thực dương.

Từ kết quả chứng minh bất đẳng thức đúng với 2 số thực không âm ta có:

$a + b + c + d ge 2sqrt [2] {ab} + 2sqrt [2] {cd} ge 4sqrt [4] {abcd}$

$Leftrightarrow frac{a + b + c + d } {4} ge sqrt [4] {abcd} (đpcm)$

Hệ quả:

Với $d = frac{a + b + c} {3}$ Thì bất đẳng thức trở về dạng bất đẳng thức cosi với 3 số thực dương.

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Theo chứng minh ở trên, n = 2 thì bất đẳng thức luôn đúng.

Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số. Chứng minh điều này như sau:

$x_1+ x_2 + …, + x_n$

$ge nsqrt [n] {x_1x_2…x_n} + nsqrt [n] {x_{n + 1}x_{n + 2}…x_{2n}}$

$ge 2nsqrt [2n] {x_{n + 1}x_{n + 2}…x_{2n}}$

Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2.

Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n-1 số như sau:

Theo bất đẳng thức cosi cho n số:

$x_1+ x_2 + …, + x_n ge nsqrt [n] {x_1x_2…x_n}$

$x_n = frac {s}{n – 1}, s =x_1 + x_2 + …, + x_n$

$=> s ge (n – 1) sqrt [n – 1] {x_1x_2…x_{n – 1}}$

Đây chính là bđt Cosi (n-1) số. Như vậy ta có dpcm.

III. Quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức

Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn.

Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si.

Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.

Khám Phá Thêm: Soạn bài Tà áo dài Việt Nam trang 122 Tiếng Việt Lớp 5 tập 2 - Tuần 30

Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên.

Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể.

Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại

Trên là 5 quy tắc sẽ giúp ta có định hướng để chứng minh BĐT, học sinh sẽ thực sự hiểu được các quy tắc trên qua các ví dụ và bình luận ở phần sau.

IV. Ví dụ về bất đẳng thức cosi

Ví dụ 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² = 3.

Chứng minh rằng:

$sqrt{ frac {a^2}{a^2 +b +c}} + sqrt{ frac {a^2}{a^2 +b +c}} + sqrt{ frac {a^2}{a^2 +b +c}} le sqrt{3}$

Gợi ý đáp án

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:

(a²+ b + c)(1 + b + c) ≥ (a + b + c)² . Do đó, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh rằng:

$frac {a sqrt {1 + b + c} + b sqrt {1 + c + a} + c sqrt {1 + a + b}}{a + b + c} le sqrt{3}$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi lần thứ hai ta thu được:

VT $= frac { sqrt{a}sqrt{a(1 + b + c)} + sqrt{b}sqrt{b(1 + c + a)} + sqrt{c}sqrt{c(1 + a + b)}}{a + b + c}$

$le frac { sqrt{{(a + b + c)}[a(1 + b + c) + b(1 + c + a) + c(1 + a + b)] }} {a + b + c}$

$= sqrt{1 + frac {2(ab + bc +ca)}{a + b + c}}$

$le sqrt{1 + frac {2(a + b +c)}{3}}$

$le sqrt{1 + frac {2 sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)}}{3}} = sqrt{3} (đpcm)$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x + frac{7}{x}$ với x > 0

Gợi ý đáp án

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 và ta có:

$x + frac{7}{x} ge 2sqrt {x.frac{7}{x}} = 2sqrt 7$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = frac{7}{x} Leftrightarrow {x^2} = 7 Leftrightarrow x = sqrt 7$ (do x > 0)

Vậy min $A = 2sqrt 7 Leftrightarrow x = sqrt 7$

Ví dụ 3: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện $frac{1}{x} + frac{1}{y} = frac{1}{2}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = sqrt x + sqrt y$

Gợi ý đáp án

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

$frac{1}{x} + frac{1}{y} ge 2sqrt {frac{1}{x}.frac{1}{y}}$

$Leftrightarrow frac{1}{2} ge frac{2}{{sqrt {xy} }} Leftrightarrow sqrt {xy} ge 4$

Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

$sqrt x + sqrt y ge 2sqrt {sqrt {xy} } = 2sqrt 4 = 4$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $left{ begin{array}{l} x = y\ frac{1}{x} + frac{1}{y} = frac{1}{2} end{array} right. Leftrightarrow x = y = 4$

Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

V. Bài tập bất đẳng thức cosi

Bài 1. Giải các phương trình sau:

$a) quadleft(x^{2}+1right)left(y^{2}+2right)left(z^{2}+8right)=32 x y z quad(x, y, z>0)$

$b) x+sqrt{2-x^{2}}=4 y^{2}+4 y+3$

$c) frac{16}{sqrt{x-3}}+frac{4}{sqrt{y-1}}+frac{1225}{sqrt{z-665}}=82-sqrt{x-3}-sqrt{y-1}-sqrt{z-665}$

$d) frac{x+1}{sqrt{x}}+frac{4(y-1) sqrt[3]{y-1}+4}{sqrt[3]{(y-1)^{2}}}=10$

Bài 2. Giải phương trình:

$a) quad sqrt{x-1}+x-3=sqrt{2(x-3)^{2}+2 x-2}.$

$b) quad frac{x}{2 x+y+z}+frac{y}{2 y+z+x}+frac{z}{2 z+x+y}=frac{3}{4}.$

Bài 3. Giải hê phương trình:

$left{begin{array}{l}frac{2 x^{2}}{1+x^{2}}=y \ frac{3 y^{3}}{1+y^{2}+y^{4}}=z \ frac{4 z^{4}}{1+z^{2}+z^{4}+z^{6}}=xend{array}right.$

Bài 4. Xác đinh số nguyên dương n và các số dương $x_{1}, x_{2}, ldots, x_{n}$ thỏa:

$left{begin{array}{l} mathrm{x}_{1}+mathrm{x}_{2}+ldots+mathrm{x}_{mathrm{n}}=9 \ frac{1}{mathrm{x}_{1}}+frac{1}{mathrm{x}_{2}}+ldots+frac{1}{mathrm{x}_{mathrm{n}}}=1 end{array}right.$

Bài 5. Giải hê phương trình: $left{begin{array}{l}x+y+z=1 \ x^{4}+y^{4}+z^{4}=x y zend{array}right.$

Bài 6. Giải hê phương trình: $left{begin{array}{l}sqrt{1+x_{1}}+sqrt{1+x_{2}}+ldots+sqrt{1+x_{n}}=n sqrt{frac{n+k}{n}} \ sqrt{1-x_{1}}+sqrt{1-x_{2}}+ldots+sqrt{1-x_{n}}=n sqrt{frac{n-k}{n}}end{array}right.$

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a, $B = frac{{left( {x + 4} right)left( {x + 9} right)}}{x}$ với x > 0

(gợi ý: biến đổi $B = frac{{left( {x + 4} right)left( {x + 9} right)}}{x} = frac{{{x^2} + 13x + 36}}{x} = x + 13 + frac{{36}}{x}$ rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

b, $C = frac{{{{left( {x + 10} right)}^2}}}{x}$ với x > 0

c, $D = frac{x}{3} + frac{3}{{x - 2}}$ với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + frac{1}{y} + frac{4}{{x - y}}$ với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi $P = x - y + frac{4}{{x - y}} + y + frac{1}{y}$ )

Bài 9: Với a, b, c là các số thực không âm, chứng minh:

$left( {a + b + c} right)left( {frac{1}{a} + frac{1}{b} + frac{1}{c}} right) ge 9$

(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm)

Bài 10: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Khám Phá Thêm: KHTN 8 Bài 38: Môi trường và các nhân tố sinh thái Giải KHTN 8 Cánh diều trang 179, 180, 181

$frac{{b + c}}{a} + frac{{c + a}}{b} + frac{{a + b}}{c} ge 6$

(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)

Trên lớp 9, chúng ta học về bất đẳng thức Cosi và các bất đẳng thức liên quan tới nó. Bất đẳng thức Cosi là một trong những khái niệm quan trọng trong học thuật về toán học và đặc biệt hữu ích trong hình học. Khi được áp dụng đúng cách, nó có thể giúp chúng ta giải quyết các bài toán phức tạp, đánh giá được các giá trị gần đúng và giới hạn của các biểu thức.

Bất đẳng thức Cosi xác định mối quan hệ giữa cosinus của một góc trong tam giác vuông và độ dài hai cạnh góc vuông tương ứng với nó. Bất đẳng thức được phát biểu như sau: trong tam giác vuông ABC, với góc B là góc vuông, ta có cos(A) < AB/AC và cos(B) < AB/BC.

Bất đẳng thức Cosi có một số ứng dụng quan trọng trong hình học. Ví dụ, giả sử chúng ta có một tam giác ABC với độ dài các cạnh a, b, c và góc A, B, C tương ứng. Áp dụng bất đẳng thức Cosi, chúng ta có thể chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác nhọn nếu và chỉ nếu a^2 < b^2 + c^2. Nếu a^2 = b^2 + c^2 thì tam giác ABC là tam giác vuông và nếu a^2 > b^2 + c^2 thì tam giác ABC là tam giác tù.

Ngoài ra, bất đẳng thức Cosi còn được áp dụng trong giải tích và các lĩnh vực khác của toán học. Nó có thể giúp chúng ta chứng minh các bất đẳng thức khác nhau, tính đạo hàm và phân tích các hình dạng khác nhau trong không gian ba chiều.

Tóm lại, bất đẳng thức Cosi là một khái niệm quan trọng trong lớp 9 và toán học nói chung. Nó không chỉ giúp chúng ta giải quyết các bài toán phức tạp mà còn giúp chúng ta hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa độ dài cạnh và góc trong tam giác vuông. Việc hiểu và ứng dụng bất đẳng thức Cosi sẽ giúp chúng ta phát triển khả năng tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề trong toán học và những lĩnh vực liên quan.

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Bất đẳng thức Cosi Bất đẳng thức Cosi lớp 9 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Từ Khoá Liên Quan:

1. Bất đẳng thức Cosi
2. Cosi trong hình tam giác
3. Bất đẳng thức Cosi trong tam giác
4. Định lí Cosi trong tam giác
5. Bằng chứng Cosi trong tam giác
6. Thông qua Cosi chứng minh bất đẳng thức
7. Bất đẳng thức giữa Cosi và tỉ số đường cao trong tam giác
8. Bất đẳng thức Cosi và vạch ép tam giác
9. Sử dụng bất đẳng thức Cosi lớp 9
10. Lý thuyết bất đẳng thức Cosi
11. Bất đẳng thức Cosi trong nghiệm của phương trình
12. Bất đẳng thức Cosi trong tam giác nhọn
13. Bất đẳng thức Cosi và định hướng góc
14. Bất đẳng thức Cosi trong tam giác tù
15. Bất đẳng thức Cosi và đối xứng tam giác.

I. Bất đẳng thức Cosi

1. Bất đẳng thức AM – GM

2. Bất đẳng thức Cosi

3. Bất đẳng thức cosi cho 2 số không âm

4. Bất đẳng thức cosi cho 3 số không âm

5. Bất đẳng thức cosi cho 4 số không âm

6. Bất đẳng thức cosi cho n số không âm

II. Chứng minh bất đẳng thức cosi

1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi đúng với 2 thực số không âm

2. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 thực số không âm

3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực không âm

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

III. Quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức

IV. Ví dụ về bất đẳng thức cosi

V. Bài tập bất đẳng thức cosi

Bài Viết Liên Quan