Bất đẳng thức Bunhiacopxki Bunhiacopxki

Bạn đang xem bài viết Bất đẳng thức Bunhiacopxki Bunhiacopxki tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một trong những dạng toán rất quen thuộc và thường được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị.

Trong bài viết dưới đây thcshuynhphuoc-np.edu.vn giới thiệu đến các bạn toàn bộ kiến thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki như: định nghĩa, công thức, hệ quả và một số bài tập ứng dụng. Thông qua tài liệu này giúp các bạn có thêm nhiều tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để giải nhanh các bài toán lớp 9. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm Bất đẳng thức Cosi. Mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Mục Lục Bài Viết

1. Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Thường được gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki.

Khám Phá Thêm: Hướng dẫn đặt lịch cắt tóc trên ứng dụng 30shine

+ Bất đẳng thức này rất quen thuộc và thường được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị.

2. Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

$Bất đẳng thức Bunhiacopxki Bunhiacopxki$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $frac{a}{c} = frac{b}{d}$

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:

Với hai bộ số $left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} right)$ và $left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} right)$ ta có:

$left( {a_1^2 + a_1^2 + ... + a_n^2} right)left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} right) ge {left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} right)^2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$

Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0

3. Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Có $Bất đẳng thức Bunhiacopxki Bunhiacopxki$

$begin{array}{l} Leftrightarrow left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge {left( {ac + bd} right)^2}\ Leftrightarrow {left( {ac} right)^2} + {left( {ad} right)^2} + {left( {bc} right)^2} + {left( {bd} right)^2} ge {left( {ac} right)^2} + 2abcd + {left( {bd} right)^2}\ Leftrightarrow {left( {ad} right)^2} + {left( {bc} right)^2} ge 2abcd\ Leftrightarrow {left( {ad} right)^2} - 2abcd + {left( {bc} right)^2} ge 0 end{array}$

$Leftrightarrow {left( {ad - bc} right)^2} ge 0$ (luôn đúng)

4. Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

$left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge 4abcd$

6. Bài tập tự luyện bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a, $A = sqrt {6 - x} + sqrt {x + 2}$

b, $B = sqrt x + sqrt {2 - x}$

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

$frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + frac{b}{{sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + frac{c}{{sqrt {{c^2} + {a^2}} }} le frac{3}{{sqrt 2 }}$

(gợi ý: biến đổi vế trái thành $sqrt {frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} + sqrt {frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} + sqrt {frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {a^2}}}}$ rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương, . Chứng minh rằng:

$sqrt {a - 1} + sqrt {b - 1} + sqrt {c - 1} le sqrt {cleft( {ab + 1} right)}$

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:

$frac{1}{{{a^3}left( {b + c} right)}} + frac{1}{{{b^3}left( {c + a} right)}} + frac{1}{{{c^3}left( {a + b} right)}} ge frac{3}{2}$

Bài 5: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn x² + y² ≤ x + y. Chứng minh:

x + 3y ≤ 2 + $sqrt{5}$

6. Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

$sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}} le sqrt 6$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$1.sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + 1.sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + 1.sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}}$

$le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {frac{{a + b}}{{a + b + c}} + frac{{b + c}}{{a + b + c}} + frac{{c + a}}{{a + b + c}}} right)}$

$Leftrightarrow sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}} le sqrt {3.2} = sqrt 6$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = sqrt {x - 2} + sqrt {4 - x}$

Khám Phá Thêm: Mẫu đơn xin học bán trú (4 Mẫu) Đơn xin ăn bán trú ở trường

Lời giải:

$A = sqrt {x - 2} + sqrt {4 - x}$

Điều kiện: $2 le x le 4$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

${left[ {1.sqrt {x - 2} + 1.sqrt {4 - x} } right]^2} le left( {{1^2} + {1^2}} right)left( {x - 2 + 4 - x} right) = {2^2} = 4$

$begin{array}{l} Rightarrow {A^2} le 4\ Leftrightarrow - 2 le A le 2 end{array}$

A max = 2 khi $frac{1}{{sqrt {x - 2} }} = frac{1}{{sqrt {4 - x} }} Leftrightarrow x - 2 = 4 - x Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì $sqrt {p - a} + sqrt {p - b} + sqrt {p - c} le sqrt {3p}$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

$1.sqrt {p - a} + 1.sqrt {p - b} + 1.sqrt {p - c} le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {p - a + p - b + p - c} right)}$

$Leftrightarrow sqrt {p - a} + sqrt {p - b} + sqrt {p - c} le sqrt {3left( {3p - 2p} right)} = sqrt {3p}$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $frac{1}{{p - a}} = frac{1}{{p - b}} = frac{1}{{p - c}} Leftrightarrow a = b = c$ hay tam giác là tam giác đều

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Bất đẳng thức Bunhiacopxki Bunhiacopxki tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Từ Khoá Liên Quan:

1. Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki

2. Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki

3. Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki

4. Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

6. Bài tập tự luyện bất đẳng thức Bunhiacopxki

6. Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bài Viết Liên Quan