Bài tập Toán lớp 6: Lũy thừa với số mũ tự nhiên và các phép toán Ôn tập môn Toán lớp 6

Bài tập Toán lớp 6: Lũy thừa với số mũ tự nhiên và các phép toán hướng dẫn các em rất chi tiết, cụ thể từng bước để giải các dạng bài tập về Lũy thừa với số mũ tự nhiên, giúp các em nắm thật vững kiến thức Toán 6.

Dạng bài Lũy thừa với số mũ tự nhiên có thể áp dụng với cả 3 bộ sách mới Kết nối tri thức với cuộc sống, Chân trời sáng tạo và Cánh diều. Học bộ sách nào các em cũng có thể vận dụng, luyện giải, rồi so sánh kết quả vô cùng thuận tiện. Chi tiết mời các em cùng tải miễn phí bài viết dưới đây của thcshuynhphuoc-np.edu.vn:

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

an = a.a…..a (n thừa số a) (n khác 0)

a được gọi là cơ số.

n được gọi là số mũ.

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

am. an = am+n

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

am : an = am-n (a ≠ 0 ; m ≠ 0)

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

4. Lũy thừa của lũy thừa

(a^m)ⁿ = a^m.n

Ví dụ: (3²)⁴ = 3^2.4 = 3⁸

5. Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác sơ số

a^m . b^m = (a.b)^m

ví dụ : 3³ . 4³ = (3.4)³ = 12³

6. Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số

a^m : b^m = (a : b)^m

ví dụ : 8⁴ : 4⁴ = (8 : 4)⁴ = 2⁴

7. Một vài quy ước

1ⁿ = 1 ví dụ : 1²⁰¹⁷ = 1

a⁰ = 1 ví dụ : 2017⁰ = 1

Một số ví dụ

Ví dụ 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa:

a) 4.4.4.4.4.4.4;

b) 11.11.11;

c) 8.8.8.8.8.

Lời giải

a) 4.4.4.4.4.4.4 = 4⁷;

b) 11.11.11 = 11³;

c) 8.8.8.8.8 = 8⁵.

+ Nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và công các số mũ:

a^m.aⁿ = a^m+n.

Ví dụ 2. Viết kết quả của các phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) a².a³.a⁵;

b) 2³.2⁸.2⁷;

c) 7.7².7²³.

Lời giải

a) a².a³.a⁵ = a^{2 + 3 + 5} = a¹⁰;

b) 2³.2⁸.2⁷ = 2^{3 + 8 + 7} = 2¹⁸;

c) 7.7².7²³ = 7^{1 + 2 + 23} = 7²⁶.

Chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ:

a^m:aⁿ = a^m-n.

Ví dụ 3. Viết kết quả của phép tính dưới dạng một lũy thừa:

a) 12¹²:12;

b) 10⁸:10⁵:10³.

Lời giải

a) 12¹²:12 = 12^{12 – 1} = 12¹¹;

b) 10⁸:10⁵:10³ = 10^{8 – 5} : 10³ = 10³ : 10³ = 10^{3 – 3} = 10⁰ = 1.

Bài tập vận dụng có đáp án

Bài 1: So sánh:

a) 5³⁶ và 11²⁴

b) 3²ⁿ và 2³ⁿ (n ∈ N*)

c) 5²³ và 6.5²²

d) 2¹³ và 2¹⁶

e) 21¹⁵ và 27⁵.49⁸

f) 72⁴⁵ – 72⁴⁴ và 72⁴⁴ – 72⁴³

Giải:

a) 5³⁶ = 5¹² (5³)¹² = 125¹²; 11²⁴ = 11^2.12 = (11²)¹² = 121¹²

Mà 125¹² > 121¹² => 5³⁶ > 121¹²

b) Tương tự

c) Ta có: 5²³ = 5.5²² < 6.5²²

d) Tương tự.

e) 21¹⁵ = (7.3)¹⁵ = 7¹⁵.3¹⁵

27⁵.49⁸ = (3³)⁵.(7²)⁸ = 3¹⁵.7¹⁶ = 7.3¹⁵.7¹⁵ > 3¹⁵.7¹⁵ = 21¹⁵

=> 27⁵.49⁸ > 21¹⁵.

f) 72⁴⁵ – 72⁴⁴ = 72⁴⁴.(72 – 1) = 72⁴⁴.71

72⁴⁴ – 72⁴³ = 72⁴³.(72 – 1) = 72⁴³.71

Mà 72⁴³.71 < 72⁴⁴.71 nên suy ra: 72⁴⁴ – 72⁴³ < 72⁴⁵ – 72⁴⁴

Bài 2: Tính giá trị biểu thức (Thu gọn các tổng sau):

a) A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

b) B = 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸

c) C = – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸

Giải:

a) Ta có: A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

2A = 2.( 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷)

2A = 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁸

2A – A = (2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁸) – (2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷)

A = 2²⁰¹⁸ – 2

b) B = 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸

3².B = 3².( 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸)

9B = 3² + 3⁴ + 3⁶ + … + 3²⁰²⁰

9B – B = (3² + 3⁴ + 3⁶ + … + 3²⁰²⁰) – (1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸)

8B = 3²⁰²⁰ – 1

B = (3²⁰²⁰ – 1) : 8.

c) C = – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸

5C = 5.( – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸)

5C = -5² + 5³ – 5⁴ + 5⁵ – … – 5²⁰¹⁸ + 5²⁰¹⁹

5C + C = (-5² + 5³ – 5⁴ + 5⁵ – … – 5²⁰¹⁸ + 5²⁰¹⁹) + (- 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸)

6C = 5²⁰¹⁹ – 5

C = (5²⁰¹⁹ – 5) : 6

Bài 3: Thực hiện các phép tính sau:

a) 3⁷.27⁵.81³

b) 100⁶.1000⁵.10000³

c) 36⁵ : 18⁵

d) 24.5⁵ + 5².5³

e) 125⁴ : 5⁸

f) 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²)

Giải:

a) 3⁷.27⁵.81³ = 3⁷.(3³)⁵.(3⁴)³ = 3⁷.3¹⁵.3¹² = 3^7+15+12 = 3³⁴.

b) Tương tự.

c) 36⁵ : 18⁵ = (36 : 18)⁵ = 2⁵ = 32.

d) 5⁵ + 5².5³ = 24.5⁵ + 5⁵ = 5⁵.(24 + 1) = 5⁵.25 = 5⁵.5² = 5⁷.

e) 125⁴ : 5⁸ = (5³)⁴ : 5⁸ = 5¹² : 5⁸ = 5^12-8 = 5⁴ = 625.

f) 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²) = 3⁴.(3³ + 3³⁰) : [3⁵(1 + 3²⁷)]

= 3⁴.3³.(1 + 3²⁷) : [3⁵.(1 + 3²⁷)]

= 3⁷ : 3⁵ = 3^7-5 = 3² = 9.

Hoặc: 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²) = 3⁴.(3³ + 3³⁰) : (3⁵ + 3³²)

= 3².(3³.3² + 3³⁰.3²) : (3⁵ + 3³²)

= 3²(3⁵ + 3³²) : (3⁵ + 3³²)

= 3² = 9

Bài 4: Tìm số tự nhiên x biết rằng

a) 1 + 3 + 5 + … + x = 1600 (x là số tự nhiên lẻ).

Tự giải.

b) 2^x + 2^{x + 3} = 144

Giải:

Ta có: 2^x + 2^{x + 3} = 144

=> 2^x + 2^x.2³ = 144

=> 2^x.(1 + 8) = 144

=> 2^x.9 = 144

=> 2^x = 144 : 9 = 16 = 2⁴

=> x = 4.

c) (x – 5)²⁰¹⁶ = (x – 5)²⁰¹⁸

=> (x – 5)²⁰¹⁸ – (x – 5)²⁰¹⁶ = 0

=> (x – 5)²⁰¹⁶.[(x – 5)² – 1] = 0

=> x – 5 = 0 hoặc x – 5 = 1 hoặc x – 5 = -1

=> x = 5 hoặc x = 6 hoặc x = 4 (Thỏa mãn x ∈ N).

Đ/s: x ∈ {4; 5; 6}.

d) (2x + 1)³ = 9.81

Tự trình bày.

Bài 5: Tìm tập hợp các số tự nhiên x, biết rằng lũy thừa 5^{2x – 1} thỏa mãn điều kiện:

100 < 5^{2x – 1} < 5⁶.

Giải:

Ta có: 100 < 5^{2x – 1} < 5⁶

=> 5² < 100 < 5^2x-1 < 5⁶

=> 2 < 2x – 1 < 6

=> 2 + 1 < 2x < 6 + 1

=> 3 < 2x < 7

Vì x ∈ N nên suy ra: x ∈ {2; 3} là thỏa mãn.

Bài tập về nhà dạng toán Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Bài tập 1: Viết gọn các tích sau dưới dạng lũy thừa.

a) 4 . 4 . 4 . 4 . 4

c) 2 . 4 . 8 . 8 . 8 . 8

b) 10 . 10 . 10 . 100

d) x . x . x . x

Giải:

a) 4⁵

b) 10⁵

c) 8⁵ = (2³)⁵= 2¹⁵

d) x⁴

Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau.

a) a⁴.a⁶

b) (a⁵)⁷

c) (a³)⁴ . a⁹

d) (2³)⁵.(2³)⁴

Giải:

a) a¹⁰

b) a³⁵

c) a²¹

d) 2²⁷

Bài toán 3: Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 4⁸. 2²⁰; 9¹² . 27⁵ . 81⁴ ; 64³ . 4⁵ . 16²

b) 25²⁰. 125⁴; x⁷ . x⁴ . x ³ ; 3⁶ . 4⁶

c) 8⁴. 2³. 16² ; 2³ . 2² . 8³ ; y . y⁷

Giải:

a) 2³⁶; 3⁵⁵; 4¹⁸

b) 5⁵²; x¹⁴ ; 12⁶

c) 2²³; 2¹⁴; y⁸

Bài toán 4: Tính giá trị các lũy thừa sau :

a) 2², 2³, 2⁴ , 2⁵ , 2⁶ , 2⁷ , 2⁸ , 2⁹ , 2¹⁰.

b) 3², 3³, 3⁴ , 3⁵.

c) 4², 4³, 4⁴.

d) 5², 5³, 5⁴.

Giải:

a) 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 1024

b) 9; 27; 81; 243

c) 16; 64; 256

d) 25; 125; 625

Bài toán 5: Viết các thương sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 4⁹: 4⁴; 17⁸ : 17⁵ ; 2¹⁰ : 8² ; 18¹⁰ : 3¹⁰ ; 27⁵ : 81³

b) 10⁶: 100 ; 5⁹: 25³ ; 4¹⁰ : 64³ ; 2²⁵ : 32⁴ : 18⁴ : 9⁴

Giải:

a) 4⁵; 17³; 2⁴; 6¹⁰; 3³

b) 10⁴; 5³; 4¹; 2⁵; 18⁴: 9⁴

Bài toán 6: Viết các tổng sau thành một bình phương.

a) 1³+ 2³

b) 1³ + 2³ + 3³

c) 1³ + 2³ + 3³ + 4³

Giải:

a) 3²

b) 6²

c) 10²

Bài toán 7: Tìm x N, biết.

a) 3^x. 3 = 243

b) 2^x. 16² = 1024

c) 64.4^x = 16⁸

d) 2^x = 16

Giải:

a) x = 4

b) x = 2

c) x = 13

d) x = 4

Bài toán 8: Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý.

a) (2¹⁷+ 17²).(9¹⁵– 3¹⁵).(2⁴ – 4²)

b) (8²⁰¹⁷– 8²⁰¹⁵) : (8²¹⁰⁴.8)

c) (1³+ 2³+ 3⁴ + 4⁵).(1³ + 2³ + 3³ + 4³).(3⁸ – 81²)

d) (2⁸+ 8³) : (2⁵.2³)

Giải:

a) (2¹⁷+ 17²).(9¹⁵– 3¹⁵).(2⁴ – 4²) = (2¹⁷ + 17²).(9¹⁵ – 3¹⁵).(16 – 16) = 0

b) (8²⁰¹⁷– 8²⁰¹⁵) : (8²¹⁰⁴.8) = 8²⁰¹⁵.(8²– 1) : 8²⁰¹⁵ = 64 – 1 = 63

c) (1³+ 2³+ 3⁴ + 4⁵).(1³ + 2³ + 3³ + 4³).(3⁸ – 81²)

= (1³ + 2³ + 3⁴ + 4⁵).(1³ + 2³ + 3³ + 4³).(3⁸ – 3⁸) = 0

d) (2⁸+ 8³) : (2⁵.2³) = (2⁸+ 2⁹) : 2⁸ = 2⁸ : 2⁸ + 2⁹ : 2⁸ = 1 + 2 = 3

Bài toán 9: Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 125⁵: 25³

b) 27⁶: 9³

c) 4²⁰: 2¹⁵

d) 24ⁿ: 2²ⁿ

e) 64⁴. 16⁵: 4²⁰

g) 32 ⁴ : 8 ⁶

Giải:

a) 5⁹

b) 3¹²

c) 2²⁵

d) 24ⁿ: 2²ⁿ= 24ⁿ : 4ⁿ = 6ⁿ

e) 4²

g) 2²

Bài toán 10 : Tìm x, biết.

a) 2^x.4 = 128

b) (2x + 1)³ = 125

c) 2x – 2⁶ = 6

d) 64.4^x = 45

e) 27.3^x = 243

g) 49.7^x = 2401

h) 3^x = 81

k) 3⁴.3^x = 3⁷

n) 3^x + 25 = 26.2² + 2.3⁰

Giải:

a) x = 5 b) x = 2 c) x = 5

d) x = 2 e) x = 2 g) x = 2

h) x = 4 k) x = 3 n) x = 4

Bài toán 11: So sánh

a) 2⁶ và 8² ; 5³ và 3⁵ ; 3² và 2³ ; 2⁶ và 6²

b) A = 2009.2011 và B = 20102

c) A = 2015.2017 và B = 2016.2016

d) 2017⁰ và 1²⁰¹⁷

Giải:

a) Có 8²= (2³)²= 2⁶

Có 5³ = 125 và 3⁵ = 243 nên 5³ < 3⁵

Có 3² = 9 và 2³ = 8 nên 3² > 2³

Có 2⁶ = 64 và 6² = 36 nên 2⁶ > 6²

b) A = 2009.2011 và B = 2010²

Có B = 2010² = 2010.2010 = (2009 + 1).2010 = 2009.2010 + 2010

= 2009.(2011 -1) + 2010 = 2009.2011 + 2010 – 2009 = 2009.2011 + 1 > A

c) A = 2015.2017 và B = 2016.2016

Có B = 2016.2016 = (2015 + 1).2016 = 2015.2016 + 2016

= 2015.(2017 – 1) + 2016 = 2015.2017 + 1 > A

d) Có 2017⁰= 1 và 1²⁰¹⁷= 1 nên 2017⁰ = 1²⁰¹⁷

Bài toán 12: Cho A = 1 + 2¹ + 2² + 2³ + … + 2²⁰⁰⁷

a) Tính 2A

b) Chứng minh : A = 2²⁰⁰⁸ – 1

Giải:

a) 2A = 2.( 1 + 2¹+ 2²+ 2³ + … + 2²⁰⁰⁷) = 2¹ + 2² + …. + 2²⁰⁰⁸

b) 2A – A = A = 2¹+ 2²+ …. + 2²⁰¹⁸ – (1 + 2¹ + 2² + 2³ + … + 2²⁰⁰⁷) = 2²⁰⁰⁸ – 1

Bài toán 13: Cho A = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷

a) Tính 3A

b) Chứng minh A = (3⁸ – 1) : 2

Giải:

a) 3A = 3.( 1 + 3 + 3²+ 3³+ 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷) = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷ + 3⁸

b) 3A – A = 2A = 3 + 3²+ 3³+ 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷ + 3⁸ – (1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷) = 3⁸ – 1

Suy ra A = (3⁸ – 1) : 2

Bài toán 14: Cho B = 1 + 3 + 3² + … + 3²⁰⁰⁶

a) Tính 3B

b) Chứng minh: A = (3²⁰⁰⁷ – 1) : 2

Giải:

Học sinh làm tương tự bài 12, 13

Bài toán 15: Cho C = 1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁵ + 4⁶

a) Tính 4C

b) Chứng minh: A = (47 – 1) : 3

Giải:

Học sinh làm tương tự bài 12, 13

Bài Toàn 16: Tính tổng

a) S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

b) S = 3 + 3² + 3³ + ….+ 3²⁰¹⁷

c) S = 4 + 4² + 4³ + … + 4²⁰¹⁷

d) S = 5 + 5² + 5³ + … + 5²⁰¹⁷

Giải:

Học sinh làm tương tự bài 12, 13