Bài tập Hiệu hai bình phương (Có đáp án) Hằng đẳng thức số 3

Hiệu hai bình phương là một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em được học trong chương trình Toán THCS. Tuy nhiên nhiều em học sinh vẫn chưa biết cách vận dụng giải bài tập về hiệu hai bình phương.

Bài tập về hiệu hai bình phương tổng hợp toàn bộ kiến thức về công thức ví dụ minh họa, các dạng bài tập có đáp án kèm theo. Qua đó sẽ giúp các em học sinh thử sức, rèn luyện kiến thức, để đánh giá đúng năng lực bản thân, nắm vững được các dạng bài thường xuất hiện trong đề kiểm tra, bài thi sắp tới. Bên cạnh đó để nâng cao kiến thức Toán 8 các bạn xem thêm bài tập toán nâng cao lớp 8, bài tập về Bình phương của một tổng, bài tập hiệu hai bình phương.

1. Hiệu hai bình phương là gì?

Với A và B là các biểu thức tùy ý ta có :

A² – B² = (A – B).(A + B)

Ví dụ :

(2x+1)(2x-1) = (2x)² -1² = 4x² -1

91² – 9² = (91 – 9)(91 + 9) = 82.100 = 8200

62.78 = (70 – 8)(70 + 8) =70² – 8² = 4900 – 64 = 4836

2. Hằng đẳng thức

Hiệu của bình phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và hiệu hai biểu thức.

3. Bài tập hằng đẳng thức

Bài 1: Tính nhanh

Tính nhanh

a) 101²

b) 47.53

c) 20,1.19,9

d) 9⁸.2⁸ – (18⁴ – 1)(18⁴ + 1)

e) 100² – 99² + 98² – 97² +……+ 2² – 1²

f) (20² + 18² + 16² +………..+ 4² + 2²) – (19² + 17² + 15² +………….+ 3² +1²)

Gợi ý đáp án 

a) 101² = (101² – 1) + 1 = (101 + 1)(101 – 1) +1 = 100.102 + 1 =10201

b) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 50² – 3² = 2500 – 9 =2491

c) 20,1.19,1 = (20 + 0,1)(20 – 0,1)= 20² – 0,1² =400 – 0,01 =399,99

d) 9⁸.2⁸ – (18⁴ – 1)(18⁴ + 1) = (9.2)⁸ – ((18⁴)² – 1) = 18⁸ – (18⁸ – 1) = 18⁸ – 18⁸ + 1 = 1

e) Đặt A = 100² – 99² + 98² – 97² +…………..+ 2² – 1²

Ta có:

A = (100² – 99²) + (98² – 97²) +…………..+ (2² – 1²)

= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) + ……………. + (2 – 1)(2 + 1)

= 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 + ………………………………….+ 2 + 1

= 100.101 : 2

= 5050

f) Đặt B = ( 20² + 18² + 16² +…………..+ 4² + 2²) – (19² +17² + 15² +……………..+ 3² + 1²)

Ta có:

B = ( 20² + 18² + 16² +…………..+ 4² + 2²) – (19² +17² + 15² +……………..+ 3² + 1²)

= (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²) + …………………+ (4² – 3²) + (2² – 1²)

= (20 + 19)(20 – 19) + (18 – 17)(18 + 17) + (16 – 15)(16 + 15) +…………+ (4 – 3)(4 + 3) + (2 – 1)(2 + 1)

= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 +…………………………….+ 4 + 3 + 2 + 1

= 20.21 : 2

= 210

*Mẹo nhỏ sử dụng máy tính casio để tách tích thành tổng và hiệu

Bài 2: Thực hiện phép tính:

a) x2 – 4y2

b) (x + y)2 – (2 – y)2

Gợi ý đáp án

a) x² – 4y² = x² – (2y)² = (x – 2y).(x + 2y)

b) (x + y)² – (2 – y)²

Cách 1: (x + y)² – (2 – y)²

= (x + y + 2 – y).(x + y – 2 + y)

= (x + 2).(x + 2y – 2)

= x² + 2xy – 2x + 2x + 4y – 4

= x² + 2xy + 4y – 4

Cách 2: (x + y)² – (2 – y)²

= x² + 2xy + y² – (4 – 4y + y²)

= x² + 2xy + y² – 4 + 4y – y²

= x² + 2xy – 4 + 4y

Bài 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng hiệu hai bình phương:

a) (2x – 3y)(2x + 3y)	b) (1 + 3y)(3y – 1)
c) (4a – 2)(4a + 2)	d) (a – 3b)(a + 3b)

Gợi ý đáp án

a) (2x – 3y)(2x + 3y) = (2x)² – (3y)² = 4x² – 9y²

b) (1 + 3y)(3y – 1) = (3y)² – 1² = 9y² – 1

c) (4a – 2)(4a + 2) = (4a)² – 2² = 16a² – 4

d) (a – 3b)(a + 3b) = a² – (3b)² = a² – 9b²

Bài 4 Tính nhanh

a) 45 . 55

b) 55 . 105

Gợi ý đáp án

a) 45 . 55 = (50 – 5).(50 + 5) = 50² – 5² = 2500 – 25 = 2475

b) 55 . 105 = (80 – 25).(80 + 25) = 80² – 25² = 6400 – 625 = 5775

Bài 5: Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?

a) a² – b² = (a – b)(a + b);

b) 3x(2x – 1) = 6x² + 3x;

c) 2(x – 1) = 4x + 3;

Gợi ý đáp án 

a) Ta có: (a – b)(a + b) = a(a + b) – b(a + b)

= a² + ab – ab – b² = a² – b².

Vậy đẳng thức a² – b² = (a – b)(a + b) là hằng đẳng thức.

b) Xét đẳng thức 3x(2x – 1) = 6x² + 3x

Khi thay x = 1 vào hai vế của đẳng thức ta thấy VT = 3 và VP = 9, do đó hai vế không bằng nhau.

Vậy đẳng thức 3x(2x – 1) = 6x² + 3x không phải là hằng đẳng thức.

c) Xét đẳng thức 2(x – 1) = 4x + 3

Khi thay x = 0 vào hai vế của đẳng thức ta thấy VT = –2 và VP = 3, do đó hai vế không bằng nhau.

Vậy đẳng thức 2(x – 1) = 4x + 3 không phải là hằng đẳng thức.

Bài 5: Khai triển:

a) (2x – 3)²;

b) (3y – x)².

Gợi ý đáp án

a) (2x – 3)² = (2x)² ‒ 2.2x.3 + 3² = 4x² – 12x + 9.

b) (3y – x)² = (3y)² ‒ 2.3y.x + x² =9y² – 6xy + x².

Bài 6: Rút gọn biểu thức:

a) 2(x – y)(x + y) + (x + y)² + (x – y)²;

b) (x – y – z)² – (x – y)² + 2(x − y)z.

Gợi ý đáp án 

a) 2(x – y)(x + y) + (x + y)² + (x – y)²

= 2(x² ‒ y²) + x² + 2xy + y² + x² ‒ 2xy + y²

= 2x² ‒ 2y² + x² + 2xy + y² + x² ‒ 2xy + y²

= (2x² + x² + x²) + (‒2y² + y² + y²) + (2xy ‒ 2xy)

= 4x².

b) (x – y – z)² – (x – y)² + 2(x − y)z

= [(x – y) – z]² – (x – y)² + 2(x − y)z

= (x – y)² – 2(x – y)z + z² – (x – y)² + 2(x – y)z

= [(x – y)² – (x – y)²] + [–2(x − y)z + 2(x − y)z] + z²

= z².