Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên Ôn tập Toán 9

Bạn đang xem bài viết Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên Ôn tập Toán 9 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Cách tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên là dạng bài toán khó thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi vào 10 ở câu hỏi ghi điểm tuyệt đối nhằm phân loại học sinh.

Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên tổng hợp toàn bộ kiến thức về các phương pháp tìm, ví dụ minh họa chi tiết kèm theo 7 bài tập tự luyện với nhiều mức độ khác nhau. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về tìm x để A nhận giá trị nguyên. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Mục Lục Bài Viết

1. Cách tìm giá trị x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Phương pháp 1: Đưa biểu thức về dạng phân thức mà chứa tử thức là số nguyên, tìm giá trị của biến để mẫu thức là ước của tử thức.

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng $Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên Ôn tập Toán 9$ trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

Khám Phá Thêm: Bài tập trắc nghiệm Sinh học lớp 11 chương 4 Kết nối tri thức (Có đáp án) Câu hỏi trắc nghiệm Sinh sản ở sinh vật

Bước 2: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh m < A < M trong đó m, M là các số nguyên.

Bước 3: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên.

Bước 4: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x

Bước 5: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận.

Phương pháp 2: Đánh giá khoảng giá trị của biểu thức, từ khoảng giá trị đó ra có các giá trị nguyên mà biểu thức có thể đạt được.

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.

Bước 2: Rút gọn biểu thức A.

Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được.

Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Phương pháp 3: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, tìm khoảng giá trị của tham số, từ khoảng giá trị đó ta xét các giá trị nguyên của tham số, giải ra tìm ẩn.

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

Bước 2: Rút gọn biểu thức A

Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được

Khám Phá Thêm: Hoạt động trải nghiệm 10: Thể hiện phẩm chất tốt đẹp của người học sinh Trải nghiệm hướng nghiệp lớp 10 trang 5 sách Chân trời sáng tạo

2. Ví dụ tìm x nguyên để biểu thức đạt giá trị nguyên

Ví dụ 1: Cho biểu thức $A = frac{{sqrt x }}{{sqrt x - 3}} + frac{{2sqrt x - 24}}{{x - 9}};B = frac{7}{{sqrt x - 8}}$ với x ≥ 0 và x ≠ 9

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các số nguyên x để M = A. B đạt giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức ta được kết quả: $A = frac{{sqrt x + 8}}{{sqrt x + 3}}$

b) Ta có:

$M = A.B = frac{{sqrt x + 8}}{{sqrt x + 3}}.frac{7}{{sqrt x + 8}} = frac{7}{{sqrt x + 3}} Rightarrow 0 < M leqslant frac{7}{3}$

Vậy các giá trị nguyên của M có thể đạt được là 1 và 2

Với M = 1 ta có:

$frac{7}{{sqrt x + 3}} = 1 Rightarrow sqrt x + 3 = 7 Rightarrow x = 16left( {tm} right)$

Với M = 2 ta có:

$frac{7}{{sqrt x + 3}} = 2 Rightarrow sqrt x + 3 = frac{7}{2} Rightarrow x = frac{1}{4}left( {tm} right)$

Vậy biểu thức M = A. B nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi x = 16 hoặc x = 1/4.

Ví dụ: Cho biểu thức: $A = frac{{x - 2sqrt x }}{{xsqrt x - 1}} + frac{{sqrt x + 1}}{{xsqrt x + x + sqrt x }} + frac{{1 + 2x - 2sqrt x }}{{{x^2} - sqrt x }}$ (điều kiện $x > 0,x ne 1$ )

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Học sinh thực hiện rút gọn biểu thức, ta có kết quả: $A = frac{{sqrt x + 2}}{{x + sqrt x + 1}}$

b) Học sinh tham khảo một trong các cách làm dưới đây:

Cách 1: Với $x > 0,x ne 1$ ta có: $x + sqrt x + 1 > sqrt x + 1 > 1$

Vậy 0 < A $= frac{{sqrt x + 2}}{{x + sqrt x + 1}} < frac{{sqrt x + 2}}{{sqrt x + 1}} = 1 + frac{1}{{sqrt x + 1}} < 2$

Vì A nguyên nên A = 1 $Leftrightarrow frac{{sqrt x + 2}}{{x + sqrt x + 1}} = 1$ => x = 1 (Không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Cách 2: Dùng miền giá trị

$A = frac{{sqrt x + 2}}{{x + sqrt x + 1}} Leftrightarrow Ax + left( {A - 1} right)sqrt x + A - 2 = 0$

Trường hợp 1: Nếu A = 0 $sqrt x = - 2 Rightarrow x in emptyset$

Trường hợp 2: Nếu A khác 0

$begin{matrix} Rightarrow Delta = {left( {A - 1} right)^2} - 4Aleft( {A - 2} right) = - 3{A^2} + 6A + 1 geqslant 0 hfill \ Leftrightarrow {A^2} - 2A - dfrac{1}{3} leqslant 0 Leftrightarrow {A^2} - 2A + 1 leqslant dfrac{4}{3} Leftrightarrow {left( {A - 1} right)^2} leqslant dfrac{4}{3} hfill \ Rightarrow A in left{ {1;2} right} hfill \ A in mathbb{Z},A > 0 hfill \ end{matrix}$

Với A = 1 => x = 1 (Loại)

Với A = 2 $Rightarrow frac{{sqrt x + 2}}{{x + sqrt x + 1}} = 2$ => x = 0 (Loại)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Ví dụ 3

Cho biểu thức $M = frac{{a + 1}}{{sqrt a }} + frac{{asqrt a - 1}}{{a - sqrt a }} + frac{{{a^2} - asqrt a + sqrt a - 1}}{{sqrt a - asqrt a }}$ với a > 0, a ≠ 0

a) Chứng minh rằng M > 4

b) Với những giá trị của a thì biểu thức $N = frac{6}{M}$ nhận giá trị nguyên?

Gợi ý đáp án

a) Do a > 0, a ≠ 0 nên $frac{{asqrt a - 1}}{{a - sqrt a }} = frac{{left( {sqrt a - 1} right)left( {a + sqrt a + 1} right)}}{{sqrt a left( {sqrt a - 1} right)}} = frac{{a + sqrt a + 1}}{{sqrt a }}$

Khám Phá Thêm: Bộ đề thi giữa học kì 1 môn Ngữ văn 6 năm 2023 - 2024 sách Chân trời sáng tạo 5 Đề kiểm tra giữa kì 1 môn Ngữ văn 6 (Có đáp án + Ma trận)

Và

$begin{matrix} dfrac{{{a^2} - asqrt a + sqrt a - 1}}{{sqrt a - asqrt a }} hfill \ = dfrac{{left( {a + 1} right)left( {a - 1} right) - sqrt a left( {a - 1} right)}}{{sqrt a left( {1 - a} right)}} hfill \ = frac{{left( {a - 1} right)left( {a - sqrt a + 1} right)}}{{sqrt a left( {1 - a} right)}} = dfrac{{ - a + sqrt a + 1}}{{sqrt a }} hfill \ Rightarrow M = dfrac{{a + 1}}{{sqrt a }} + 2 hfill \ end{matrix}$

Do a > 0, a ≠ 0 nên ${left( {sqrt a - 1} right)^2} > 0 Rightarrow a + 1 > 2sqrt a$

=> $M > frac{{2sqrt a }}{{sqrt a }} + 2 = 4$

b) Ta có: $0 < N = frac{6}{M} < frac{3}{2}$ do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1

mà N = a => $frac{{6sqrt a }}{{a + 1 + 2sqrt a }} = 1$

$begin{matrix} Rightarrow a - 4sqrt a + 1 = 0 Rightarrow {left( {sqrt a - 2} right)^2} = 3 hfill \ Rightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {sqrt a = 2 + sqrt 3 } \ {sqrt a = 2 - sqrt 3 } end{array}} right.left( {tm} right) hfill \ end{matrix}$

Vậy N nguyên khi và chỉ khi $a = {left( {2 pm sqrt 3 } right)^2}$

3. Bài tập tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị nguyên

Bài 1: Tìm giá trị của x để các biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên:

a. $frac{7}{{sqrt x + 3}}$	b. $frac{{sqrt x + 13}}{{sqrt x + 5}}$
c. $frac{{3sqrt x + 13}}{{sqrt x + 3}}$	d. $frac{7}{{x + sqrt x + 2}}$
e. $frac{{2sqrt x }}{{x + sqrt x + 1}}$

Bài 2: Cho biểu thức:

$B = frac{{2sqrt x + 13}}{{x + 5sqrt x + 6}} + frac{{sqrt x - 2}}{{sqrt x + 2}};A = frac{{2sqrt x - 1}}{{sqrt x + 3}};left( {x geqslant 0} right)$

a.Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Tính biểu thức C = A – B

c. Tìm giá trị của x để C đạt giá trị nguyên

Bài 3: Cho biểu thức:

$A = left( {frac{{x + 2}}{{x - sqrt x - 2}} - frac{{2sqrt x }}{{sqrt x + 1}} - frac{{1 - sqrt x }}{{sqrt x - 2}}} right)left( {1 - frac{{sqrt x - 3}}{{sqrt x - 2}}} right);left( {x geqslant 0;x ne 4} right)$

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tìm x để A nhận giá trị nguyên.

Bài 4: Cho hai biểu thức:

$A = frac{{3sqrt x - 3}}{{x + sqrt x }};B = frac{1}{{sqrt x - 1}} - frac{1}{{xsqrt x - 1}}$

a) Tính A khi x = 25.

b) Rút gọn S = A . B.

c) Tìm x để S nhận giá trị nguyên.

Bài 5: Tìm các giá trị của x để biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên:

a, $frac{{7sqrt x }}{{x + sqrt x + 2}}$ b, $frac{{15sqrt x }}{{x + sqrt x + 1}}$ c, $frac{{3sqrt x }}{{x + 5sqrt x + 9}}$

Bài 4: Cho biểu thức $P = frac{{sqrt x }}{{sqrt x - 1}} + frac{3}{{sqrt x + 1}} - frac{{6sqrt x - 4}}{{x - 1}}$ với x ≥ 0; x ≠ 1.

1) Rút gọn P.

2) Tìm x để P = -1.

3) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

Bài 6: Cho biểu thức:

$A = frac{{sqrt x - 2}}{{sqrt x + 2}};B = frac{{x - 2}}{{sqrt x - 2}} + frac{2}{{sqrt x }} + frac{4}{{x - 2sqrt x }};left( {x > 0;x ne 4} right)$

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để C = A.B nhận giá trị nguyên.

Bài 7: Cho hai biểu thức:

$A = frac{{sqrt x + 5}}{{sqrt x - 3}};B = frac{4}{{sqrt x + 3}} + frac{{2x - sqrt x + 13}}{{x - 9}} - frac{{sqrt x }}{{sqrt x - 3}}$

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên Ôn tập Toán 9 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Từ Khoá Liên Quan: