Góc giữa hai mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và Bài tập (có đáp án) Ôn tập Toán 11

Bạn đang xem bài viết Góc giữa hai mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và Bài tập (có đáp án) Ôn tập Toán 11 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Góc giữa hai mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian. Để hiểu rõ hơn về góc giữa hai mặt phẳng, chúng ta cần tìm hiểu định nghĩa và cách xác định góc giữa hai mặt phẳng. Bài viết này sẽ trình bày về hình học không gian, định nghĩa, và cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, đồng thời cung cấp một số bài tập ôn tập có đáp án.

Đầu tiên, hãy xem xét định nghĩa của góc giữa hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng giao nhau trên hai mặt phẳng đó. Góc này được đo bằng số đo của góc giữa hai đường thẳng đó.

Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, chúng ta cần tìm giao điểm của hai mặt phẳng đó. Đầu tiên, hãy tìm giao điểm của hai mặt phẳng bằng cách giải hệ phương trình tương ứng của hai mặt phẳng. Giao điểm này là một đường thẳng. Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định góc giữa hai đường thẳng trên mỗi mặt phẳng bằng cách tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng đó. Cuối cùng, góc giữa hai mặt phẳng là số đo của góc giữa hai đường thẳng.

Để ôn tập kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng, dưới đây là một số bài tập có đáp án cho bạn:

Bài tập 1: Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2) có các phương trình lần lượt là:

(P1): 2x + 3y – z = 5
(P2): x – y + z = 3

Đáp án: Để tìm góc giữa hai mặt phẳng, ta cần tìm giao điểm của chúng. Giải hệ phương trình ta có điểm giao nhau là (2, -1, 4). Tiếp theo, tìm hai đường thẳng trên mỗi mặt phẳng và số đo của góc giữa hai đường thẳng. Kết quả là 70 độ.

Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có các phương trình lần lượt là:

(P1): 4x + 2y – 3z = 7
(P2): 2x – y + 3z = 1

Tìm véc-tơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng và số đo của góc giữa hai véc-tơ pháp tuyến.

Đáp án: Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P1) là (4, 2, -3), còn véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P2) là (2, -1, 3). Sử dụng định nghĩa của góc giữa hai véc-tơ, ta tính được số đo của góc giữa hai mặt phẳng là 60 độ.

Bài tập 3: Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có các phương trình lần lượt là:

(P1): 3x + y – 2z = 4
(P2): x – 2y + 4z = 2

Tìm giao điểm của hai mặt phẳng và số đo của góc giữa hai mặt phẳng.

Đáp án: Giải hệ phương trình ta có điểm giao nhau là (1, 2, 0). Xác định hai đường thẳng trên mỗi mặt phẳng và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng, ta có kết quả là 45 độ.

Như vậy, thông qua việc định nghĩa, cách xác định và giải các bài tập ôn tập, chúng ta đã hiểu thêm về góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.

Góc giữa hai mặt phẳng là một trong những kiến thức rất quan trọng trong chương trình học lớp 11. Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

Trong bài học hôm nay thcshuynhphuoc-np.edu.vn sẽ giới thiệu đến các bạn toàn bộ kiến thức về cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, phương pháp tính kèm theo các dạng bài tập trắc nghiệm và tự luận kèm theo. Thông qua tài liệu này các bạn có thêm nhiều tư liệu học tập củng cố kiến thức kỹ năng học tập để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm Công thức truy hồi.

Mục Lục Bài Viết

1. Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng

– Khái niệm: Góc giữa 2 mặt phẳng là gì? Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

– Tính chất: Từ định nghĩa trên ta có:

Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ,
Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.

2. Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

Để có thể xác định chính xác góc giữa 2 mặt phẳng bạn áp dụng những cách sau:

Khám Phá Thêm: Hướng dẫn cách đăng nhập Facebook trên Gmail

Gọi P là mặt phẳng 1, Q là mặt phẳng 2

Trường hợp 1: Hai mặt phẳng (P), (Q) song song hoặc trùng nhau thì góc của 2 mặt phẳng bằng 0,

Trường hợp 2: Hai mặt phẳng (P), (Q) không song song hoặc trùng nhau.

Cách 1: Dựng 2 đường thẳng n và p vuông góc lần lượt với 2 mặt phẳng (P), (Q). Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa 2 đường thẳng n và p.

Cách 2: Để xác định góc giữa 2 mặt phẳng đầu tiên bạn cần xác định giao tuyến Δ∆của 2 mặt phẳng (P) và (Q). Tiếp theo, bạn tìm một mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến Δ∆của 2 mặt phẳng (P), (Q) và cắt 2 mặt phẳng tại các giao tuyến a, b.

⇒Góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa a và b.

3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

$cos varphi=|cos alpha|=frac{left|vec{n}_{P} cdot vec{n}_{Q}right|}{left|vec{n}_{P}right| cdotleft|vec{n}_{Q}right|}=frac{left|A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}right|}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}} cdot sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}} .$

4. Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Có 2 phương pháp bạn có thể áp dụng để tính góc giữa 2 mặt phẳng:

Phương pháp 1: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý hàm số sin, hàm số cos.

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là ABCD và độ dài các cạnh đáy bằng a, SA = SB = SC = SD = a. Tính cos góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).

Phương pháp 2: Dựng mặt phẳng phụ (R) vuông góc với giao tuyến c mà (Q) giao với (R) = a, (P) giao với (R) = b.

Suy ra

5. Bài tập áp dụng

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng(P), cạnh AC = a√2 , AC tạo với (P) một góc 60°. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. (ABC) tạo với (P) góc 45°
B. BC tạo với (P) góc 30°
C. BC tạo với (P) góc 45°
D. BC tạo với (P) góc 60°

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc ∠AIB
B. (BCD) ⊥ (AIB)
C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là góc ∠CBD
D. (ACD) ⊥ (AIB)
Câu 3: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC , gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?

A. Góc SBA.
B. Góc SCA.
C. Góc SCB.
D. Góc SIA.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD), gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ∠ABS
B. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc ∠SOA
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc ∠SDA
D. (SAC) ⊥ (SBD)

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (A1D1CB) và (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. α = 45°
B. α = 30°
C. α = 60°
D. α = 90°

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có tâm O và SA ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ∠ABS
B. (SAC) ⊥ (SBD)
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc ∠SOA
D. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc ∠SDA

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ∠ABC = 60°. Các cạnh SA ; SB ; SC đều bằng a(√3/2) . Gọi φ là góc của hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) . Giá trị tanφ bằng bao nhiêu?

A. 2√5
B. 3√5
C. 5√3
D. Đáp án khác

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB = 2a; AD = DC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. (SBC) ⊥ (SAC)
B. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) song song với AB
C. (SDC) tạo với (BCD) một góc 60°
D. (SBC) tạo với đáy một góc 45°

Câu 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a; AD = 2a. Gọi α là góc giữa đường chéo A’C và đáy ABCD. Tính α .

A. α ≈ 20°45′
B. α ≈ 24°5′
C. α ≈ 30°18′
D. α ≈ 25°48′

Câu 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xét mặt phẳng (A’BD). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√2 .
B. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√3
C. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương.
D. Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau.

Câu 11: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.

Khám Phá Thêm: Văn mẫu lớp 9: Nghị luận về hiện tượng lười đọc sách Suy nghĩ của em về hiện tượng học sinh rất ít đọc sách

A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°

Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a√2 và chiều cao bằng a√2/2 . Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu?

A. 30°
B. 45°
C. 90°
D. 60°

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥ (ABCD); SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60°.

A. x = 3a/2
B. x = a/2
C. x = a
D. x = 2a

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là :

A. ∠CSF
B. ∠BSF
C. ∠BSE
D. ∠CSE

Câu 15: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) tại B và C lần lượt lấy D; E nằm trên cùng một phía đối với (P) sao cho BD = a(√3/2), CE = a√3 . Góc giữa (P) và (ADE) bằng bao nhiêu?

A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 45°

Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định.
D. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Câu 17. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Câu 18: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hình hộp có bốn mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
B. Nếu hình hộp có ba mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
C. Nếu hình hộp có hai mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
D. Nếu hình hộp có năm mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

Câu 19. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Câu 20. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt
phẳng cắt nhau cho trước.
D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

6. Bài tập tự luyện

Bài 1 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a , AD = $asqrt{3}$ . SA = a và SA vuông góc (ABCD) .

1) Chứng minh (SBC) vuông góc (SAB) và (SCD) vuông góc (SAD)

2) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD)

Bài 2 : Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và vuông góc (ABC).

1) Xác định chân đường cao H kẻ từ S của hình chóp .

2) Chứng minh (SBC) vuông góc (SAC) .

3) Gọi I là trung điểm SC, chứng minh (ABI) vuông góc (SBC)

Bài 3 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a. Gọi I là trung điểm BC

1) Chứng minh (SBC) vuông góc (SAI) .

2) Biết góc giữa (SBC) và (ABC) là 60 độ. Tính chiều cao SH cua hình chóp.

Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a.

1) Tính độ dài đường cao hình chóp.

2) M là trung điểm SC. Chứng minh (MBD) vuông góc (SAC).

3) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp.

Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB = 2a ,

Khám Phá Thêm: Tiếng Anh 11 Unit 5: 5H Writing Soạn Anh 11 Chân trời sáng tạo trang 69

AD = CD =a , cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a.

1) Chứng minh (SAD) vuông góc (SCD) và (SAC) vuông góc (SBC).

2) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Tính tan φ .

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA = a và SA vuông

góc (ABCD). Tính góc giữa (SBC) và (SCD)

Bài 7 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a $widehat{mathrm{ABC}}=60^{circ}$ , SA = SB = SC= a .

1) Chứng minh (SBD) vuông góc (ABCD)

2) Chứng minh tam giác SBD vuông .

Bài 8 : Cho tam giác đều ABC cạnh a , I là trung điểm BC và D là điểm đối xứng với A

qua I . Dựng $mathrm{SD}=frac{mathrm{a} sqrt{6}}{2}$ và SD vuông góc (ABC) . Chứng minh :

1) (SAB) vuông góc (SAC) .

2) (SBC) vuông góc (SAD)

Bài 9: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và . Có SA = SB = $mathrm{SD}=frac{mathrm{a} sqrt{3}}{2}$

1) Chứng minh (SAC) vuông góc (ABCD) và SB vuông góc BC .

2) Tính tang của góc giữa (SBD) và (ABCD) .

Bài 10 : Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau . Gọi I là trung điểm AB .

1) Chứng minh (SAD) vuông góc (SAB) .

2) Tính góc giữa SD và (ABCD) .

3) Gọi F là trung điểm AD . Chứng minh (SCF) vuông góc (SID) .

Bài 11

Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc ABC

a) Xác định góc giữa (ABC) và (SBC)

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B xác định góc giữa hai mp (ABC) và (SBC)

Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=SB=SC=SD=a. Tính cosin của góc giữa (SAB) và (SAD).

Trong bài viết này, chúng ta đã xem xét về góc giữa hai mặt phẳng và cách xác định góc giữa chúng. Góc giữa hai mặt phẳng là góc mà hai mặt phẳng đó tạo thành khi chúng gặp nhau. Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, chúng ta cần biết hướng của hai mặt phẳng và tìm giao điểm của chúng.

Có hai trường hợp chính khi xác định góc giữa hai mặt phẳng. Trường hợp đầu tiên là khi ta có sẵn tọa độ của hai mặt phẳng. Bằng cách sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ, ta có thể tính được góc giữa hai mặt phẳng.

Trường hợp thứ hai là khi ta chỉ biết các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng. Ta xác định hướng của mỗi mặt phẳng bằng cách lựa chọn một vector pháp tuyến, và từ đó tính được góc giữa hai mặt phẳng.

Để ôn tập và làm quen với cách tính góc giữa hai mặt phẳng, chúng ta có một số bài tập dưới đây. Đáp án chi tiết cũng được cung cấp để giúp bạn kiểm tra lại kết quả của mình.

1. Cho mặt phẳng A có vector pháp tuyến (1, 2, 3) và mặt phẳng B có vector pháp tuyến (4, 5, 6). Tìm góc giữa hai mặt phẳng.

Đáp án: Góc giữa hai mặt phẳng là khoảng cách góc. Sử dụng công thức cosin để tính góc, ta có:
cos(θ) = (a.b)/(|a||b|)
cos(θ) = (1*4 + 2*5 + 3*6)/sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) * sqrt(4^2 + 5^2 + 6^2)
cos(θ) = 32/ sqrt(14) * sqrt(77)
θ ≈ 36.87 độ.

2. Cho mặt phẳng (x-2)/5 = (y+1)/3 = (z-3)/7 và mặt phẳng (2x-7)/3 = (3y+4)/2 = (z+5)/8. Tìm góc giữa hai mặt phẳng.

Đáp án: Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta xác định hướng của từng mặt phẳng bằng vector pháp tuyến. Từ đó, áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ, ta tính được góc giữa hai mặt phẳng.

Hướng mặt phẳng A: (5, 3, 7)
Hướng mặt phẳng B: (2, 3, 8)

cos(θ) = (a.b)/(|a||b|)
cos(θ) = (5*2 + 3*3 + 7*8)/sqrt(5^2 + 3^2 + 7^2) * sqrt(2^2 + 3^2 + 8^2)
cos(θ) = 79/ sqrt(83) * sqrt(77)
θ ≈ 30.78 độ.

Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về góc giữa hai mặt phẳng, cách xác định và tính toán góc giữa chúng thông qua các ví dụ và bài tập. Hy vọng rằng bạn đã hiểu rõ về chủ đề này và có thể áp dụng kiến thức này vào giải quyết các bài toán liên quan.

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Góc giữa hai mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và Bài tập (có đáp án) Ôn tập Toán 11 tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Từ Khoá Liên Quan:

1. Góc giữa hai mặt phẳng
2. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng
3. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
4. Góc tạo bởi hai mặt phẳng
5. Bài tập về góc giữa hai mặt phẳng
6. Góc giữa hai mặt phẳng vuông góc
7. Góc giữa hai mặt phẳng song song
8. Góc giữa hai mặt phẳng lệch tâm
9. Xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
10. Bài tập về góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
11. Góc giữa hai mặt phẳng trong hình học không gian
12. Góc giữa hai mặt phẳng nghiêng
13. Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
14. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng vectơ pháp tuyến
15. Bài tập ôn tập góc giữa hai mặt phẳng