7 Hằng đẳng thức đáng nhớ và Hệ quả Hằng đẳng thức

Bạn đang xem bài viết 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ và Hệ quả Hằng đẳng thức tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Hằng đẳng thức là những quy tắc toán học quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Chúng giúp chúng ta giải quyết các bài toán phức tạp và tìm ra các mối liên hệ quan trọng giữa các phương trình và biểu thức. Trong số đó, có 7 hằng đẳng thức đáng nhớ được coi là căn cứ cho việc giải quyết nhiều bài toán khó trong toán học. Cùng với đó, hệ quả của các hằng đẳng thức này cũng có ý nghĩa vô cùng quan trọng.

Đầu tiên, hằng đẳng thức căn bậc hai (hay còn được gọi là đẳng thức Pythagore) là một trong những quy tắc căn bản nhất và được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hình học, đại số, cơ học và thống kê. Đẳng thức này khẳng định rằng trong một tam giác vuông, bình phương của độ dài cạnh huyền (đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.

Tiếp theo, hằng đẳng thức của Napiê là một trong những công thức quan trọng nhất trong tính toán. Đẳng thức này cho biết tổng của chuỗi số hình thang bằng nửa tổng của cạnh trên và cạnh dưới nhân với số lượng hình thang.

Hằng đẳng thức của Newton là công thức để tính tổng các lũy thừa của các số từ 1 đến n. Công thức này được áp dụng để tính tổng của một dãy số hoặc tính tích phân của một hàm số.

Đời sống thực tế không thể thiếu hằng đẳng thức của Euler trong lĩnh vực số học. Đẳng thức này kết nối các lũy thừa phức của số e, i và π. Nó đã tạo ra một cuộc cách mạng trong lĩnh vực toán học và là căn bản cho các phương trình vi phân và hàm sóng.

Hằng đẳng thức phương trình Bellman – Ford, Dijkstra là những công thức trong lĩnh vực quản lý mạng và tìm kiếm đường đi ngắn nhất trong đồ thị. Chúng giúp chúng ta tìm ra đường đi tối ưu giữa các đỉnh và có ứng dụng trong việc quản lý và tối ưu hóa mạng.

Cuối cùng, hằng đẳng thức khai triển binomial đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực đại số và xác suất. Đẳng thức này cung cấp công thức để tính lũy thừa của tổ hợp và được sử dụng để giải bài toán về số học trong nhiều lý thuyết và ứng dụng khác nhau.

Tổng hợp lại, 7 hằng đẳng thức trên là những công thức quan trọng và có ý nghĩa to lớn trong nền toán học của chúng ta. Công dụng của chúng không chỉ giới hạn trong lĩnh vực toán mà còn được ứng dụng tại nhiều ngành khoa học khác nhau. Hiểu và áp dụng đúng những hằng đẳng thức này, chúng ta sẽ có những phương pháp và công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán phức tạp.

Hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những nội dung rất quan trọng và cần thiết dành cho các bạn học sinh lớp 7, lớp 8. Việc nắm vững, nhận dạng, để vận dụng các hằng đẳng thức vào giải toán là một nhu cầu không thể thiếu khi học chương 1 Đại số 8 cho tất cả học sinh phổ thông.

TOP 7 Hằng đẳng thức tổng hợp toàn bộ công thức về hằng đẳng thức, ví dụ minh họa kèm theo các bài tập có đáp án và lời giải chi tiết. Hi vọng qua tài liệu này các em sẽ vận dụng kiến thức của mình để làm bài tập, rèn luyện linh hoạt cách giải các dạng đề để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác.

Mục Lục Bài Viết

Hằng đẳng thức: Lý thuyết và bài tập

I. Hằng đẳng thức đáng nhớ
II. Hệ quả hằng đẳng thức
III. Các dạng bài toán bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

I. Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bình phương của một tổng

$7 Hằng đẳng thức đáng nhớ và Hệ quả Hằng đẳng thức$

Diễn giải: Bình phương của một tổng hai số bằng bình phương của số thứ nhất, cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Khám Phá Thêm: Bài viết số 1 lớp 7 đề 1: Kể cho bố mẹ nghe một câu chuyện lí thú (hoặc cảm động) mà em đã gặp ở trường Dàn ý & 12 mẫu bài viết số 1 lớp 7 đề 1

Bình phương của một hiệu

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Diễn giải: Bình phương của một hiệu hai số bằng bình phương của số thứ nhất, trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Hiệu của hai bình phương

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Diễn giải: Hiệu hai bình phương hai số bằng tổng hai số đó, nhân với hiệu hai số đó.

Lập phương của một tổng

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Diễn giải: Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất, cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, rồi cộng với lập phương của số thứ hai.

Lập phương của một hiệu

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Diễn giải: Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất, trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

Tổng của hai lập phương

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Diễn giải: Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó, nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.

Hiệu của hai lập phương

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Diễn giải: Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó, nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

Ví dụ minh họa về hằng đẳng thức

Ví dụ 1

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

$a) (3x+4)^{2}$

$b) (5x-y)^{2}$

$c) (xy-frac{1}{2}y)^{2}$

Gợi ý đáp án

$a) (3x+4)^{2}=9x^{2}+24x+16$

$b) (5x-y)^{2}=25x^{2}-10xy+y^{2}$

$c) (xy-frac{1}{2}y)^{2}=x^{2}y^{2}-xy^{2}+frac{1}{4}y^{2}$

Ví dụ 2

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu

$a) x^{2}+2x+1$

$b) 9-24x+16x^{2}$

$c) 4x^{2}+frac{1}{4}+2x$

Gợi ý đáp án

$a) x^{2}+2x+1=x^{2}+2x+1^{2}=(x+1)^{2}$

$b) 9-24x+16x^{2}=3^{2}-24x+(4x)^{2}=(3-4x)^{2}$

$c) 4x^{2}+frac{1}{4}+2x=(2x)^{2}+2x+(frac{1}{2})^{2}$

$=(2x+frac{1}{2})^{2}$

Ví dụ 3

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

$a) (3x - 5)(3x + 5)$

$b) (x - 2y)(x + 2y)$

$c) (-x-frac{1}{2}y)(-x+frac{1}{2}y)$

Gợi ý đáp án

$a) (3x - 5)(3x + 5)=(3x)^{2}-5^{2}=9x^{2}-25$

$b) (x - 2y)(x + 2y)=x^{2}-(2y)^{2}=x^{2}-4y^{2}$

$c) (-x-frac{1}{2}y)(-x+frac{1}{2}y)=(-x)^{2}-(frac{1}{2}y)^{2}$

$=x^{2}-frac{1}{4}y^{2}$

Ví dụ 4

a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 dưới dạng đa thức

b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x – 2 dưới dạng đa thức

Gợi ý đáp án

$a) (2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$

$b) (3x-2)^{3}=27x^{3}-54x^{2}+36x-8$

II. Hệ quả hằng đẳng thức

Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi lượng giác chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,…

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$

$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$

$(a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc$

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

$a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2$

$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$

$a^3-b^3=(a-b)^3+3a^2b-3ab^2$

$a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)$

$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)$

Hệ quả tổng quát

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-a^{n-4}b^3+ldots+a^2b^{n-3}-acdot b^{n-2}+b^{n-1})$

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

$(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2$

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Hy vọng đây là tài liệu bổ ích giúp các em hệ thống lại kiến thức, vận dụng vào làm bài tập tốt hơn. Chúc các em ôn tập và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới.

III. Các dạng bài toán bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá trị của các biểu thức.
Dạng 2: Chứng minh biểu thức A mà không phụ thuộc biến.
Dạng 3: Áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau.
Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức
Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Dạng 7: Tìm giá trị của x
Dạng 8: Thực hiện phép tính phân thức
Dạng 9: Thực hiện phép tính phân thức

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

Bài 1 :tính giá trị của biểu thức : A = x² – 4x + 4 tại x = -1

Giải.

Ta có : A = x² – 4x + 4 = A = x² – 2.x.2 + 2² = (x – 2)²

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)²=(-3)²= 9

Vậy : A(-1) = 9

Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

B = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

Giải.

B =(x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

= x² – 2x + 1 – x² + 3x + 3 – x

= 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C = x² – 2x + 5

Giải.

Ta có : C = x² – 2x + 5 = (x² – 2x + 1) + 4 = (x – 1)²+ 4

Mà : (x – 1)²≥ 0 với mọi x.

Suy ra : (x – 1)²+ 4 ≥ 4 hay C ≥ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

Nên : C_min= 4 khi x = 1

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

D = 4x – x²

Giải.

Ta có : D = 4x – x²= 4 – 4 + 4x – x²= 4 – (4 + x²– 4x) = 4 – (x – 2)²

Mà : -(x – 2)²≤ 0 với mọi x.

Suy ra : 4 – (x – 2)²≤ 4 hay D ≤ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

Nên : D_max= 4 khi x = 2.

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

(a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Giải.

VT = (a + b)³ – (a – b)³

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³

= 6a²b + 2b³

= 2b(3a² + b²) ->đpcm.

Vậy : (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức

Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Dang 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

F = x² – 4x + 4 – y²

Giải.

Ta có : F = x² – 4x + 4 – y²

= (x² – 4x + 4) – y² [nhóm hạng tử]

= (x – 2)²– y² [đẳng thức số 2]

= (x – 2 – y )( x – 2 + y) [đẳng thức số 3]

Vậy : F = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Bài 1: A = x³ – 4x² + 4x

= x(x² – 4x + 4)

= x(x² – 2.2x + 2²)

= x(x – 2)²

Bài 2: B = x² – 2xy – x + 2y

= (x²– x) + (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

Bài 3: C = x² – 5x + 6

= x² – 2x – 3x + 6

= x(x – 2) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x – 3)

Dạng 8 : Tìm x. biết :

x² ( x – 3 ) – 4x + 12 = 0

Giải.

x² ( x – 3 ) – 4x + 12 = 0

Khám Phá Thêm: Kế hoạch giáo dục môn Lịch sử - Địa lí 9 sách Kết nối tri thức với cuộc sống KHGD Lịch sử - Địa lý 9 (Phụ lục I, II, III Công văn 5512)

x² ( x – 3 ) – 4(x – 3 ) = 0

( x – 3 ) (x² – 4) = 0

( x – 3 ) (x – 2)(x + 2) = 0

( x – 3 ) = 0 hay (x – 2) = 0 hay (x + 2) = 0

x = 3 hay x = 2 hay x = –2

vậy : x = 3; x = 2; x = –2

Dạng 9: Thực hiện phép tính phân thức

Tính giá trị của phân thức M = $frac{x^3-1}{x^2 -2x+1}$ tại x = –1

Giải.

ta có : M = $frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x -1)^2}$

= $frac{x^2+x+1}{x -1}$

Khi x = -1 : M = $frac{(-1)^2+(-1)+1}{-1 -1} =frac{-1}{2}$

Vậy : M = $=frac{-1}{2}$ tại x = -1 .

IV. Một số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ

Lưu ý: a và b có thể là dạng chữ (đơn phức hoặc đa phức) hay a,b là một biểu thức bất kỳ. Khi áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào bài tập cụ thể thì điều kiện của a, b cần có để thực hiện làm bài tập dưới đây:

Biến đổi các hằng đẳng thức chủ yếu là sự biến đổi từ tổng hay hiệu thành tích giữa các số, kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cần phải thành thạo thì việc áp dụng các hằng đẳng thức mới có thể rõ ràng và chính xác được.
Để có thể hiểu rõ hơn về bản chất của việc sử dụng hằng đẳng thức thì khi áp dụng vào các bài toán, bạn có thể chứng minh sự tồn tại của hằng đẳng thức là đúng đắn bằng cách chuyển đổi ngược lại và sử dụng các hằng đẳng thức liên quan đến việc chứng minh bài toán.
Khi sử dụng hằng đẳng thức trong phân thức đại số, do tính chất mỗi bài toán bạn cần lưu ý rằng sẽ có nhiều hình thức biến dạng của công thức nhưng bản chất vẫn là những công thức ở trên, chỉ là sự biến đổi qua lại sao cho phù hợp trong việc tính toán.

V. Bài tập về hằng đẳng thức

1. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính

a) (x + 2y)²;

b) (x – 3y)(x + 3y);

c) (5 – x)².

d) (x – 1)²;

e) (3 – y)²

f) (x – )².

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng

a) x²+ 6x + 9;

b) x²+ x + ;

c) 2xy² + x²y⁴ + 1.

Bài 3: Rút gọn biểu thức

a) (x + y)²+ (x – y)²;

b) 2(x – y)(x + y) +(x – y)²+ (x + y)²;

Bài 4: Tìm x biết

a) (2x + 1)²– 4(x + 2)²= 9;

b) (x + 3)² – (x – 4)( x + 8) = 1;

c) 3(x + 2)²+ (2x – 1)²– 7(x + 3)(x – 3) = 36;

Bài 5: Tính nhẩm các hằng đẳng thức sau

a) 19²; 28²; 81²; 91²;

b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;

c) 29²– 8²; 56²– 46²; 67² – 56²;

Bài 6: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến x

a) 9x²– 6x +2;

b) x² + x + 1;

c) 2x² + 2x + 1.

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a) A = x²– 3x + 5;

b) B = (2x -1)²+ (x + 2)²;

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

a) A = 4 – x²+ 2x;

b) B = 4x – x²;

Bài 9: Tính giá trị của biểu thức

A. x³+ 12x²+ 48x + 64 tại x = 6

B = x³ – 6x² + 12x – 8 tại x = 22

C= x³+ 9x²+ 27x + 27 tại x= – 103

D = x³ – 15x² + 75x – 125 tại x = 25

Bài 10.Tìm x biết:

a) (x – 3)(x²+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 – x) = 1;

b) (x + 1)³– (x – 1)³ – 6(x – 1)² = -10

Bài 11: Rút gọn

a. (x – 2)³ – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)

b. (x – 2)(x² – 2x + 4)(x + 2)(x² + 2x +4)

d. (x + y)³ – (x – y)³ – 2y³

e. (x + y + z)² – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)

e. (2x + y)(4x²– 2xy +y²) – (2x – y)(4x²+ 2xy + y²)

Bài 12: Chứng minh

a. a³+ b³= (a + b)³– 3ab(a + b)

b. a³ – b³= (a – b)³ – 3ab(a – b)

Bài 13: a. Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức x³ + y³ + 3xy

Cho x – y = 1. Tính giá trị của biểu thức x³– y³– 3xy

Bài 14: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

A = (2x + 3)(4x²– 6x + 9) – 2(4x³– 1)

B = (x + y)(x²– xy + y²) + (x – y)(x²+ xy + y²) – 2x³.

Bài 15. Cho a + b + c = 0. Chứng minh M= N= P với

M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b);

2. Bài tập nâng cao

Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x + 1.

Lời Giải

Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1.

A = 2x² – 5x + 3

= 2(y – 1)² – 5(y – 1) + 3 = 2(y² – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10

Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:

a) 127² + 146.127 + 73²

b) 9⁸.2⁸– (18⁴ – 1)(18⁴ + 1)

c) 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²

d) (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)

Lời Giải

a) A = 127² + 146.127 + 73²

= 127² + 2.73.127 + 73²

= (127 + 73)²

= 200²

= 40000 .

b) B = 9 ⁸ .2 ⁸ – (18 ⁴ – 1)(18 ⁴ + 1)

= 18⁸ – (18⁸ – 1)

= 1

c) C = 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²

= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)

= 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1

= 5050.

d) D = (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)

= (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²)+ …+ (4² – 3²) + (2² – 1²)

= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ …+ (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)

= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1

= 210

Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?

a) A = (2 + 1)(2²+ 1)(2⁴+ 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) và B = 2³²

b) A = 1989.1991 và B = 1990²

Gợi ý đáp án

a) Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:

A = (2 – 1)(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

Khám Phá Thêm: Bộ đề thi giữa học kì 1 môn Giáo dục công dân 6 năm 2023 - 2024 sách Cánh diều 6 Đề kiểm tra giữa kì 1 môn GDCD 6 (Có đáp án + Ma trận)

Ta áp dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, ta được:

A = 2³² – 1.

=> Vậy A < B.

b) Ta đặt 1990 = x => B = x²

Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x² – 1

=> B > A là 1.

Bài 4. Chứng minh rằng:

a) a(a – 6) + 10 > 0.

b) (x – 3)(x – 5) + 4 > 0.

c) a² + a + 1 > 0.

Lời Giải

a) VT = a² – 6a + 10 = (a – 3)² + 1 ≥ 1

=> VT > 0

b) VT = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 ≥ 3

=> VT > 0

c) a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + ¾ = (a + ½ )² + ¾ ≥ ¾ >0.

Trên thực tế, có nhiều hằng đẳng thức được giới toán học làm việc với hàng thế kỷ nhằm tìm ra những kết quả quan trọng. Tuy nhiên, trong bài viết này, chúng ta đã tập trung vào bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ quả của chúng. Những hằng đẳng thức này đã không chỉ chứng minh tính chất toán học quan trọng, mà còn tạo điều kiện cho sự phát triển của nhiều lĩnh vực khác nhau trong toán học và ứng dụng của nó.

Đầu tiên, chúng ta đã xem xét Hệ quả Hằng đẳng thức của Fourier, một trong những khám phá quan trọng nhất trong lĩnh vực phân tích số. Hệ quả này liên kết tần số của một hàm với hệ số của nó trong phép biến đổi Fourier. Nó đã cung cấp một khung cảnh toán học cho rất nhiều quy luật tự nhiên và ứng dụng công nghệ cao như nén hình ảnh và âm thanh.

Tiếp theo, chúng ta đã nghiên cứu Hằng đẳng thức của Euler, một trong những công thức nổi tiếng nhất trong toán học. Nó kết nối các hằng số cơ bản trong đại số, lượng giác và số phức với nhau bằng cách sử dụng số e, số thiên tỉnh và i, đơn vị ảo. Hằng đẳng thức của Euler đã tạo ra một sự khuếch tán toán học và ứng dụng rộng rãi, từ tính toán cao cấp đến vật lý và kỹ thuật.

Một trong những hằng đẳng thức đáng nhớ khác mà chúng ta đã xem xét là Hằng đẳng thức của Pythagoras. Đây là một hằng đẳng thức cơ bản trong hình học, kết nối độ dài ba cạnh của một tam giác vuông, và đã tạo ra nền tảng cho lý thuyết đại số Euclid và hình học của nó.

Cũng trong lĩnh vực hình học, chúng ta đã nghiên cứu Hằng đẳng thức Heron, một hằng đẳng thức quan trọng cho tính diện tích của tam giác. Nó liên kết độ dài ba cạnh của tam giác với diện tích của nó thông qua công thức Heron. Hằng đẳng thức này đã cung cấp nền tảng cho sự phát triển của hình học và định lí trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Trong phân tích, chúng ta đã xem xét Hằng đẳng thức Quả thực, một trong những hằng đẳng thức cơ bản trong tính giới hạn. Nó cho biết mối quan hệ giữa các hàm số và tính chất giới hạn của chúng. Hằng đẳng thức này đã mở ra cánh cửa cho sự phát triển của phân tích toán học và ứng dụng của nó trong các lĩnh vực như vật lý, kinh tế học và kỹ thuật.

Một hằng đẳng thức khác mà chúng ta đã nghiên cứu là Hằng đẳng thức của Vandermonde. Hằng đẳng thức này liên kết các thừa số của một đa thức với hệ số của nó trong dạng ma trận Vandermonde. Nó đã có ảnh hưởng rất lớn đến đại số và lý thuyết ma trận, đồng thời cung cấp cơ sở cho nhiều ứng dụng, bao gồm xử lý ảnh, mật mã học và công nghệ thông tin.

Cuối cùng, chúng ta đã xem xét Hằng đẳng thức của Pascal. Đây là một hằng đẳng thức quan trọng trong lý thuyết xác suất, áp dụng cho tam giác Pascal. Nó đã đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán các xác suất và phân phối xác suất trong lý thuyết xác suất và thống kê.

Tổng kết lại, bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ quả của chúng đã có những ảnh hưởng sâu sắc đến toán học và ứng dụng của nó. Những kết quả này không chỉ mở rộng kiến thức của chúng ta về các phạm trù toán học cơ bản, mà còn mở rộng lĩnh vực ứng dụng và tiềm năng sáng tạo trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Cảm ơn bạn đã xem bài viết 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ và Hệ quả Hằng đẳng thức tại thcshuynhphuoc-np.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Từ Khoá Liên Quan:

1. Hằng đẳng thức
2. Định nghĩa hằng đẳng thức
3. Công thức hằng đẳng
4. Hằng đẳng thức trong toán học
5. Hằng đẳng thức và phương trình
6. Hệ quả của hằng đẳng thức
7. Chứng minh hằng đẳng thức
8. Các bước chứng minh hằng đẳng thức
9. Sử dụng hằng đẳng thức trong giải toán
10. Hằng đẳng thức và tính chất của số học
11. Hệ quả của công thức hằng đẳng
12. Hằng đẳng thức trong đại số
13. Hằng đẳng thức và các biến đổi
14. Ứng dụng của hằng đẳng thức trong lý thuyết đồ thị
15. Hằng đẳng thức và cấu trúc logic

Hằng đẳng thức: Lý thuyết và bài tập

I. Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bình phương của một tổng

Bình phương của một hiệu

Hiệu của hai bình phương

Lập phương của một tổng

Lập phương của một hiệu

Tổng của hai lập phương

Hiệu của hai lập phương

II. Hệ quả hằng đẳng thức

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

Hệ quả tổng quát

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

III. Các dạng bài toán bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức

Dang 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

Dạng 8 : Tìm x. biết :

Dạng 9: Thực hiện phép tính phân thức

IV. Một số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ

V. Bài tập về hằng đẳng thức

Bài Viết Liên Quan